Затухающие колебания инженерных сооружений

Решение этого дифференциального уравнения можно представить так:

у = a₀e^-kt/^2m sin (wt + 𝜑₀). (6)

Здесь е — основание натуральных логарифмов (e 2,72); w — круго­вая частота свободных колебаний, т. е. число циклов колебаний в течение 2 секунд;

w = ; (7)

α₀ — начальная амплитуда свободных колебаний;

α₀ = ; (8)

𝜑₀ – начальная фаза свободных колебаний, характеризующая отклонение

перемещение;

𝜑_о = arcsin ;

y₀ – начальное перемещение;

y₀ = а₀ sin𝜑₀; (9)

v₀ — начальная скорость массы.

Период, т. е. продолжительность полного цикла колебаний в секундах, составляет Т = 2 / w. (10)

Рис. 3

Рис. 2

Рис. 3

График свободных затухающих колебаний показан на рис. 2.

Найдем натуральный логарифм отношения двух последовательных од­нозначных амплитуд свободных колебаний, который обозначим δ:

δ = = αТ. (11)

Эта величина, характеризующая скорость затухания колебаний, н а з ы- вается логарифмическим декрементом колебаний, а величина α = k/(2m) — коэффициентом затухания.

В системе с затуханием зависимость между какой-либо внешней силой Р и перемещением у нелинейна, поэтому при каждом цикле колебаний на диаграмме Р — у получается замкнутая кривая, называемая петлей гистерезиса (рис. 3). Можно принять, что при гармонических колебаниях петля гистерезиса имеет форму эллипса с центром в начале ко­ординат. Отношение работы неупругих сопротивлений ΔW за цикл к работе W упругих сил за четверть цикла, т. е. на пути от ненагруженного до край­него деформированного состояния системы, называется коэффициентом поглощения энергии.

На графике рис. 3 работа ΔW выражается площадью эллипса, а ра­бота W — площадью заштрихованного треугольника.

Если не учитывать затухания колебаний, то из формул (6) – (9) получим:

y = a sin (wt + 𝜑₀), (12)

w = = = , (13)

а = , (14)

𝜑₀ = arcsin (y₀/а). (15)

При этом у_ст = δ₁₁Q – статическое перемещение системы от груза Q = mg.

График уравнения (12) представлен на рис. 4.

Величина а, характеризующая размах колебания, называется амплитудой колебаний. Величина 𝜑₀ является начальной фазой колебаний.

На графике рис. 4 величина периода Т, имеющая размерность времени, по­казана как отрезок времени между двумя соседними однозначными ампли­тудами.

Частота колебаний, т. е. число полных циклов колебаний в 1 с, выражается в герцах и составляет

= 1/Т = w/(2 ),

где Т должно быть выражено в секундах.

Из формулы (13) видно, что частота уменьшается с увеличением ста­тического прогиба упругой системы, т. е. с уменьшением ее жесткости. Час­тота убывает также с увеличением массы.

Рис. 4

Технической частотой n называют число колебаний в минуту. Техническая частота выражается формулами:

n = 60λ = 60/T = 30а)/я = (30/ ) 300/ .

Как показывает формула (7), затухание приводит к уменьшению час­тоты свободных колебаний. Однако второй член под корнем этого выраже­ния, как правило, во много раз меньше первого, поэтому практически можно считать, что затухание не оказывает влияния на частоту свободных колебаний.