Мгновенное значение частоты ФМ-колебания равно

, (2.25)

ω_g = m_ФМ W , (2.26)

где ω_g – девиация частоты колебания.

Процесс получения ФМ-сигнала показан на рисунке 2.7, а векторное представление – на рисунке 2.8.

Сравнение выражений (2.19) и (2.24) показывает, что при гармоническом модулирующем сигнале выражение, описывающее ЧМ-колебания, отличается от такового для ФМ-колебания только фазой гармонической функции, определяющей изменение полной фазы носителя. Векторное представление ФМ-колебания (рисунок 2.8) такое же, как и для ЧМ-колебания (см. рисунок 2.5), т.е. это будет качающийся вектор с постоянной длиной U_ω1 и с максимальным углом отклонения в обе стороны m_ФМ =q_max.

На рисунке 2.9 приведены зависимости индекса модуляции и девиации частоты ФМ-колебания от частоты модулирующего сигнала W.

\

В соответствии с выражениями (2.23) и (2.26) индекс модуляции m_ФМ от W не зависит и определяется только величиной амплитуды модулирующего сигнала U_W, девиация частоты ω_g прямо пропорциональна частоте W модулирующего сигнала.

2.3.1 Различие ЧМ- и ФМ-колебаний. Итак, при модуляции одним тоном по характеру колебания и его свойствам нельзя заключить, с какой модуляцией мы имеем дело – с частотной или фазовой. Различие между ЧМ и ФМ проявляется при изменении частоты модуляции или при одновременной модуляции полосой частот.

При ЧМ величина девиации частоты ω_g остается постоянной при изменении частоты модуляции W. Величина же индекса модуляции m_ЧМ =q_max с увеличением частоты модуляции W убывает (см. рисунок 2.6).

При ФМ величина индекса модуляции m_ФМ =q_max остается постоянной при изменении частоты модуляции W. Девиация частоты ω_g изменяется прямо пропорционально частоте модуляции W (см. рисунок 2.9).

Если модуляция осуществляется не одним гармоническим, а сложным сигналом, то структура модулированного колебания будет различной для ЧМ и ФМ.

В случае ЧМ медленным изменениям модулирующего сигнала (т.е. низким частотам его спектра) будут соответствовать очень большие значения

m_ЧМ =q_max(см. рисунок 2.6). В случае ФМ медленным изменениям модулирующего сигнала будут соответствовать очень малые значения девиации частоты ω_g (см. рисунок 2.9).

Наконец, Чм и ФМ различаются по способам их технического осуществления. При ЧМ обычно применяется прямое воздействие на частоту колебания задающего генератора. В случае ФМ задающий генератор вырабатывает стабильную частоту, а фаза модулируется в одном из последующих каскадов передатчика.

2.4 Спектры сигнала с угловой модуляцией

Рассмотрим случай модуляции одним тоном. Выражение для сигнала, модулированного по частоте или фазе, запишем в виде

. (2.27)

Произведя преобразования, получим

(2.28)

Рассмотрим сначала спектр сигнала, когда m<<1. Тогда можно считать, что

Подставив эти приближенные равенства в формулу (2.28), получим

(2.29)

Сравнивая выражения (2.7) и (2.29), заключаем, что спектр ЧМ или ФМ-сигнала при малом значении m состоит, как и спектр АМ сигнала, из несущей частоты ω₁ и двух боковых частот ω₁+W и ω₁-W. Единственное отличие заключается в сдвиге фазы сигнала нижней боковой частоты (знак минус) на 180⁰ относительно его положения при АМ. Спектр амплитуд сигнала с угловой модуляцией при m<<1 показан на рисунке 2.10.

Так как фаза отдельных составляющих сигнала этой диаграммой не учитывается, то характер диаграммы такой же, как и в случае АМ (см. рисунок 2.2,а). Отметим, что в данном случае влияние индекса модуляции m совпадает с влиянием коэффициента глубины модуляции m_АМ, а ширина спектра

∆ω=2Ω. (2.30)

Последний вывод говорит о том, что при очень малых величинах девиации частоты ω_g = mW (по сравнению с W) ширина спектра от величины ω_g не зависит. Векторное изображение рассмотренного случая дано на рисунке 2.11.

Оно отличается от векторного изображения АМ-сигнала (см. рисунок 2.3) только направлением вектора, изображающего составляющую нижней боковой частоты. В результате вектор модуляции BA всегда перпендикулярен к направлению вектора U_ω1. Вектор ОА, изображающий результирующее колебание, изменяется по фазе и по амплитуде. Однако при m=q_max<<1 амплитудными изменениями можно пренебречь, вследствие чего модуляция может, в первом приближении, рассматриваться как чисто угловая.

Обратимся к рассмотрению более общего случая, когда m – любая величина. Для этого функции sin(msinW t) и cos(msinW t)из выражения (2.28) разложим в тригонометрические ряды.

В теории Бесселевых функций доказываются следующие соотношения:

(2.31)

где J_n(m) – Бесселева функция первого рода n-го порядка от аргумента m.

С учётом формул (2.31) выражение (2.28) перепишем в виде

Заменив в этом выражении произведения косинусов и синусов суммами, окончательно получим

(2.32)

Таким образом, при угловой модуляции спектр сигнала состоит из бесконечного числа боковых частот, отличающихся от несущей частоты ω₁ на ± nW.

Примерный вид спектра сигнала с угловой модуляцией одним тоном W при m=3и U_ω1=1 В представлен на рисунке 2.12. По мере удаления от ω₁ амплитуды боковых составляющих уменьшаются.

Рисунок 2.12 – Спектр сигнала с угловой модуляцией при m=3 и W=const

Хотя теоретически спектр колебаний с угловой модуляцией бесконечен, практически он ограничен. Практическую ограниченность спектра сигнала с угловой модуляцией позволяют усмотреть свойства Бесселевых функций. При n>m функция J_n(m) (таблица 2.1) имеет малые значения. Это означает, что амплитуды боковых составляющих в рассмотренном спектре сигнала с угловой модуляцией становятся очень малыми и ими можно пренебречь. При увеличении m происходит перераспределение энергии. Все большая часть энергии переносится боковыми составляющими.

Таблица 2.1 – Значения Бесселевых функций J_n(m)

Этим и определяется практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией, т.е.

Как следует из (2.33), практически ширина полосы равна удвоенной девиации частоты. Полоса частот, равная 2ω_g, называется полосой качания, так как в процессе модуляции несущая частота может принимать любое мгновенное значение внутри интервала ω ₁ ± ω_g.

Векторная диаграмма сигнала с угловой модуляцией представлена на рисунке 2.13.

Рисунок 2.13 – Векторное представление сигнала с угловой модуляцией

На диаграмме показаны вектор основной частоты ω₁, первая (ω₁±W), вторая (ω₁±2W) и третья (ω₁±3W) пары боковых частот. Равнодействующая первой пары боковых частот направлена перпендикулярно к вектору основной частоты, второй – вдоль вектора основной, третьей – перпендикулярно и т.д. В результате сложения всех этих векторов получается вектор, вращающийся по дуге окружности с частотой W на угол ±m радиан.

Как указывалось выше, различие между ЧМ- и ФМ-сигналами при модуляции одним тоном проявляются только при изменении частоты модуляции W. Посмотрим, как будут изменяться спектры ЧМ- и ФМ-сигналов в этом случае.

Для ЧМ-сигналов при m>>1 ширина спектра в соответствии с выражениями (2.19) и (2.33) равна

2ω_g =2к_ЧМU_W , (2.34)

т.е. зависит только от амплитуды U_W модулирующего сигнала. Число спектральных линий (гармонических составляющих) практического спектра ЧМ-колебаний с учетом (2.19), изменяется обратно пропорционально частоте W, т.е.

n @ m= ω_g /W . (2.35)

Поэтому, например, при увеличении частоты модуляции W и постоянной амплитуде U_W число спектральных составляющих уменьшается (2.35), а практическая ширина спектра ЧМ-колебаний остается постоянной, ибо

∆ω = 2nW @ 2mW = 2ω_g (2.36)

И, наоборот, с уменьшением частоты W число спектральных составляющих возрастает (2.35). При этом практическая ширина спектра в соответствии с (2.36) опять-таки остается постоянной.

Для ФМ-колебаний при m>>1 ширина спектра в соответствии с выражениями (2.23), (2.26) и (2.33) равна

∆ω=2nW@2mW=2k_фмU_WW , (2.37)

т.е. она зависит как от амплитуды U_Wmax, так и от частоты W модулирующего сигнала. При ФМ число спектральных линий спектра при U_W=const остается неизменным. С изменением W при U_W=const изменяется интервал между соседними гармоническими составляющими и общая ширина спектра ФМ-сигнала также изменится.

2.5 Сравнение АМ-, ЧМ- и ФМ- сигналов

Сравним указанные виды модуляции по их двум основным характеристикам: средней за период высокой частоты мощности и ширине спектра.

Для АМ-сигналов средняя за период высокой частоты мощность изменяется, так как изменяется амплитуда сигнала. Эта мощность в максимальном режиме в (1+m_АМ)² раз больше мощности молчания. Ширина спектра АМ сигнала зависит от величины максимальной частоты модуляции и равна 2W_max.

Для ЧМ-сигналов средняя за период высокой частоты мощность постоянна, так как амплитуда колебаний неизменна (U_ω1= const). Ширина спектра ЧМ-сигнала, равна 2ω_g, зависит только от амплитуды модулирующего сигнала и не зависит от его частоты.

Для ФМ-колебаний средняя за период высокой частоты мощность также неизменна, ибо U_ω1=const. Ширина спектра равна 2mW=2ω_g, и зависит как от амплитуды модулирующего сигнала, так и от его частоты.

Таким образом, практическая ширина спектра колебаний с угловой модуляцией в m раз больше ширины спектра АМ-колебаний.

2.6 Одновременная модуляция по амплитуде и по частоте

В ряде случаев возникает необходимость в передаче двух сообщений с помощью одного носителя. Тогда одним сообщением носитель модулируют по частоте, а другим – по амплитуде. Наиболее простой по составу спектр сигнала с двойной модуляцией получится при гармоническом законе изменения, как частоты, так и амплитуды. Пусть по частоте носитель модулируется сообщением с частотой W₁, а по амплитуде – с частотой W₂. Тогда частота и амплитуда носителя будут изменяться в соответствии с выражениями

, (2.38)

. (2.39)

Модулированное по частоте напряжение было получено выше при постоянной амплитуде U_ω1 (2.32). При изменении амплитуды в этом выражении следует заменить постоянную амплитуду U_ω1 изменяющейся в соответствии с (2.39). Тогда получим:

По сравнению с напряжением, модулированным только по частоте, здесь появляются дополнительные составляющие двух видов:

(2.40)

и

(2.41)

Чтобы яснее выявить спектральный состав сигнала, предположим сначала, что W₁>>W₂, т.е. изменение амплитуды происходит значительно медленнее, чем изменение частоты. Тогда можно считать, что в спектре частотно-модулированного сигнала около несущего колебания с частотой ω₁ и боковых составляющих с частотами ω₁±nW₁ появилось дополнительно по два спутника с частотами, отличающимися на ±W₂. Спектр такого сигнала показан на рисунке 2.14.

Рисунок 2.14 – Спектр сигнала при одновременной модуляции

по частоте и амплитуде при W₁>>W₂

Для систем телемеханики интерес представляет второй случай, а именно спектр сигнала при W₁<<W₂. Тогда можно считать, что у каждой из трех спектральных линий АМ сигнала (несущей с частотой ω₁, нижней (ω₁-W₂) и верхней (ω₁+W₂) боковых составляющих) появились дополнительно по две боковые дискретные полосы: верхняя с частотами +nW₁ и нижняя с частотами -nW₁. Спектр сигнала для этого случая двойной модуляции показан на рисунке 2.15.

Рисунок 2.15 – Спектр сигнала при одновременной модуляции

по частоте и амплитуде при W₁<<W₂

Практически необходимая ширина спектра сигнала примерно равна сумме необходимых спектров только при амплитудной модуляции Dω_АМ и только при частотной модуляции Dω_ЧМ (рисунки 2.14, 2.15). При малом индексе частотной модуляции (m_ЧМ <1) необходимая ширина спектра сигнала лишь немногим больше, чем при амплитудной модуляции.

3 ИМПУЛЬСНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

При импульсных видах модуляции в качестве носителя используется, как правило периодическая последовательность прямоугольных импульсов, которая описывается рядом Фурье в следующем виде:

(3.1)

где	– амплитуда импульса,
	– длительность импульса;
	– период следования импульсов.

Учитывая, что угловая частота импульсной последовательности , а отношение T₁/t =Q – скважность импульсной последовательности, выражение (3.1) представим в виде:

(3.2)

Как следует из выражений (3.1) и (3.2), изменяя модулирующим сообщением амплитуду, длительность импульса, период следования, а также время появления импульсов относительно тактовых точек можно получить соответственно амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ), частотно-импульсную(ЧИМ) и фазоимпульсную модуляцию (ФИМ).

3.1 Амплитудно-импульсная модуляция

При АИМ амплитуда импульсов изменяется по закону передаваемого (модулирующего) сигнала.

Рассмотрим простейший случай АИМ одним тоном, т.е. когда модулирующий сигнал описывается выражением

(3.3)

a немодулированная последовательность импульсов представляется рядом Фурье (3.2).

Различают АИМ первого (АИМ-1) и второго (АИМ-2) рода. При АИМ-1 высота импульса в пределах его длительности (t) изменяется по закону модулирующего напряжения. При АИМ-2 высота импульса зависит лишь от значения сигнала в тактовой точке.

Временные диаграммы АИМ-1 и АИМ-2 сигналов приведены на рисунке 3.1.

C(t) Т

U_W

0 t

U(t)

U

0 t

T₁ t

АИМ-1

0 t

АИМ-2

0 t

Рисунок 3.1 – Временные диаграммы АИМ-1 и АИМ-2 сигналов

В соответствии с определением АИМ амплитуда импульсов U при
АИМ-1 будет изменяться по следующему закону:

(3.4)

Подставив (3.4) в (3.3), получим выражение для АИМ-1 в виде

(3.5)

Cравнение выражений (3.3) и (3.5) показывает, что в случае модуляции одним тоном W спектр амплитуд модулированной последовательности импульсов отличается от спектра немодулированной последовательности наличием составляющей с частотой модуляции W и боковых составляющих с частотами kω₁±W возле каждой гармоники спектра немодулированной последовательнос-ти, представленного на рисунке 3.2.

½А_к½

Q=3

К_ФНЧ

U

Q

W W 2p/t 4p/t

W W W W

ω1

2ω1

6ω1

5ω1

4ω1

0

ω

Рисунок 3.2 – Спектр амплитуд АИМ-1 сигнала

Появление в спектре составляющей с частотой W можно объяснить следующим образом. Если у последовательности импульсов постоянной высоты среднее значение также постоянно, то у последовательности импульсов, модулированных по амплитуде с частотой W (см. рисунок 3.1), и среднее значение изменяется с частотой W. Важно заметить, что ширина спектра последовательности импульсов, которую нужно сохранить при передаче, практически не изменяется в результате модуляции по амплитуде (появление боковых частот kω₁±W не сказывается на ширине спектра). Действительно, в обоих случаях необходимая ширина спектра определяется длительностью импульсов (t), которая при АИМ не изменяется:

. (3.6)

На практике в большинстве случаев принимают m=1, т.е. необходимая полоса частот определяется первым лепестком спектра, где сконцентрировано около 90% энергии всего сигнала. Так как в спектре есть модулирующая частота W, то выделить в приемнике первичный сигнал можно фильтром низких частот (см. рисунок 3.2), но для неискаженного выделения необходимо выполнить условие

W<ω₁-W или ω₁>2W.(3.7)

Условие (3.7) соответствует требованиям теоремы Котельникова, рассмотренной ранее.

Если последовательность импульсов модулируется не простым гармоническим сигналом, а сигналом, ширина спектра которого лежит в пределах от W_min до W_max, то в спектре модулированного сигнала появляются полосы частот W_min¸W_max и kω₁±(W_min¸W_max), как показано на рисунке 3.3.

½А_к½

А₁

Q = 3

А₂

А₀ А₄ А₅

2p/t

А₆

Wmin

Wmax

2ω1-Wmin

4p/t

ω .

2ω1-Wmax

Рисунок 3.3 – Спектр амплитуд АИМ-1 сигнала при модуляции

сложным сообщением

Выражение для сигнала АИМ-2 при модуляции одним тоном может быть получена в виде:

(3.8)

Спектр амплитуд АИМ-2 показан на рисунке 3.4.

½А_к½

Q=3

A_o

W W 2p/t 4p/t

W W

5ω1

ω1-W

ω1+W

4ω1

3ω1

2ω1

ω1

0

W

ω ω

Рисунок 3.4 – Спектр амплитуд АИМ-2 сигнала

Спектральный состав модулированной последовательности импульсов при АИМ-2 не отличается от спектрального состава при АИМ-1. Несколько изменяются только амплитуды боковых составляющих и составляющих с частотами спектра модулирующего сообщения (3.8).

3.2 Фазоимпульсная модуляция

При ФИМ по закону изменения передаваемого сигнала с(t)=U_Wsin(Wt) изменяется величина временного сдвига относительно тактовых точек (рисунок 3.5)

Рисунок 3.5 – Временные диаграммы ФИМ-сигнала

Если у немодулированного импульса фронт соответствует моменту времени -τ/2, а спад – моменту времени +τ/2, то для модулированного импульса эти моменты будут (рисунок 3.6)

(3.9)

(3.10)

где ∆τ =kU_W – наибольшее смещение фронта.

В выражении (3.10) время t заменено временем t-τ, так как спад импульса смещен относительно фронта на интервал времени, равный длительности импульса τ.

Рисунок 3.6 – ФИМ-сигнал на одном интервале времени

Для записи модулированного напряжения в формуле (3.1) для немодулированной последовательности, во-первых, заменим τ на τ₂-τ₁, чтобы учесть смещение фронта и спада импульса, во-вторых, время t заменим временем
t-(τ₂+τ₁)/2, чтобы учесть смещение центра импульса относительно тактовой точки. Тогда

или, заменив произведение синуса на косинус по формуле тригонометрических преобразований и подставив T₁ω₁=2p, найдем

(3.11)

Заменив в (3.11) τ₁ и τ₂ согласно (3.9) и (3.10), получим

(3.12)

В выражении (3.12) и заменим рядами Фурье, коэффициентами которых являются функции Бесселя, т.е.

(3.13)

(3.14)

Подставив (3.13) и (3.14) в (3.12) и заменив разность синусов по тригонометрическим формулам, получим

(3.15)

где ω₁Dt=m_ФИМ – индекс модуляции при ФИМ.

Из анализа выражения (3.15) следует, что спектр сигнала при ФИМ содержит постоянную составляющую, составляющую с частотой модулирующего сигнала W, основную гармонику с частотой ω₁(k=1) и кратные ей высшие гармоники с частотами kω₁, вокруг которых размещаются полосы боковых гармоник с частотами kω₁±nW (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7 – Спектр ФИМ-сигнала

В заключение следует отметить, что сигнал ФИМ относится к широкополосным и его спектр намного шире спектра сообщения и простирается от постоянной составляющей до частоты ω_B=2p /t, а следовательно, необходимая полоса частот

Dω_ФИМ=2p /t. (3.16)

Доля мощности, заключенная в составляющих с частотами выше ω_B, настолько мала, что эти составляющие можно не учитывать.

3.3 Широтно-импульсная модуляция

При ШИМ длительность импульсов изменяется пропорционально модулирующему сигналу, а их амплитуда остается постоянной.

Рассмотрим модуляцию одним тоном, т.е. когда модулирующий сигнал описывается выражением

C(t)=U_W sinWt .