Подставив (2.2) в (2.5), получим

(2.6)

где – коэффициент глубины амплитудной модуляции, или просто коэффициент модуляции.

Для того чтобы модуляция была без искажений, коэффициент модуляции не должен быть больше единицы, т.е. . При наступает перемодуляция, при которой форма огибающей не повторяет закон изменения исходного сигнала, кроме того, в точках перемодуляции фаза носителя изменяется на .

Временные диаграммы C(t), U_H(t), U_AM(t)показаны на рисунке 2.1. Из временной диаграммы для АМ сигнала следует, что

.

Заменив в выражении (2.6) произведение косинусов, получим, что

(2.7)

Рисунок 2.1 – Процесс получения Рисунок 2.2 – Спектры АМ сигнала

амплитудно-модулированного сигнала

т.е. спектр сигнала передачи, полученного в результате амплитудной модуляции, состоит из трех гармонических составляющих (рисунок 2.2,а): основной (несущей) с частотой ω₁ и двух боковых – верхней с частотой ω₁+W и нижней с частотой ω₁-W . Полоса частот, занимаемая АМ – сигналом, Dω= 2W.

Если модулирующее сообщение содержит n гармонических составляющих (а не одну гармонику), т.е. характеризуется полосой частот от W_min до W_max (рисунок 2.2,б) и описывается выражением

(2.8)

то спектр сигнала передачи кроме основной составляющей будет содержать нижнюю (НБП) и верхнюю (ВБП) боковые полосы (см. рисунок 2.2, в).

Выражение для АМ-сигнала в данном случае имеет вид:

(2.9)

a полоса частот Dω = 2W_max.

Как следует из (2.7) U_AM (t) может быть представлена в виде суммы (геометрической) трех векторов (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Векторное представление АМ-сигнала

Если на плоскости, вращающейся с круговой частотой ω₁ , изобразить вектор основной составляющей, то векторы боковых составляющих будут вращаться относительно этого вектора в противоположных направлениях с частотой W. Эти векторы в каждый момент времени занимают такое положение, что их равнодействующая всегда направлена вдоль вектора основной составляющей. В результате сложения трех векторов получаем результирующий вектор, длина которого меняется от U_min = U_ω1×(1-m) до U_max = U_ω1×(1+m) .

Из анализа выражения (2.7) можно установить, что нижняя и верхняя боковые составляющие спектра являются независимыми и в равной степени отражают передаваемую информацию. Основная составляющая информационного значения не имеет. В связи с этим определим распределение мощности сигнала по составляющим спектра (рисунок 2.2,а). В сигнале, модулированном по амплитуде, принято различать следующие средние мощности:

– за период носителя при отсутствии модуляции – P₀ (мощность молчания)

; (2.10)

– за период носителя во время модуляции

, (2.11)

; (2.12)

– за период модулирующего сигнала (информационная мощность), согласно рисунку 2.2,a .

. (2.13)

Расчет P_с по (2.13) можно применять только в том случае, когда частоты переносчика ω₁ и модулирующего сигнала W кратны между собой. В противном случае будет иметь место ошибка; однако, как правило, период модулирующего сигнала значительно больше периода переносчика и ошибка получается незначительной.

При m=1 (стопроцентная модуляция)

P_max = 4P₀; P_min = 0; P_с = 1,5P₀ (2.14)

Из выражения (2.14) следует, что полезное приращение средней мощности колебания, в основном определяющее условия выделения модулирующего сигнала при приеме, не превышает половины мощности режима молчания. Мощность в максимальном режиме P_max в четыре раза превышает мощность в режиме молчания. Эта особенность АМ является ее существенным недостатком, ухудшающим использование мощности передатчика.

На основании анализа спектра сигнала передачи, распределения мощности сигнала по составляющим его спектра и информационного значения составляющих можно заключить, что для уменьшения требуемой полосы частот, повышения помехоустойчивости сигнала за счет перераспределения мощности целесообразно исключить из спектра сигнала основную составляющую, как не имеющую информационной нагрузки (не зависит от коэффициента модуляции m_AM), и одну из боковых полос (нижнюю или верхнюю). При реализации этих условий будем иметь систему с передачей одной боковой полосы (однополосная амплитудная модуляция ОАМ), в которой полоса передаваемых частот сокращается в два раза, так что при многоканальной связи число каналов может быть почти удвоено, а уровень помех в каждом канале снижается в два раза, что равносильно увеличению отношения сигнал/шум в два раза.

Напряжение или мощность передаваемой боковой полосы при той же номинальной мощности усилителей канала связи могут быть повышены со значения mU_ω1 /2 до (1+m)U_ω1, так как при обычной амплитудной модуляции наибольшее напряжение как раз равно этой величине.

После демодуляции величина исходного сигнала в случае АМ пропорциональна амплитуде огибающей mU_ω1. В случае ОАМ при наибольшей глубине модуляции (m=1) получается выигрыш в величине исходного сигнала в (m+1)/m=2 раза по напряжению, т.е. в четыре раза по мощности.

Таким образом, результирующий выигрыш при переходе от двухполосной к однополосной АМ по мощности получается в восемь раз. Однополосный АМ-сигнал при передаче нижней боковой составляющей можно записать в виде

В заключение отметим, что функция, представленная в виде тригонометрического ряда (2.9), принадлежит к классу почти периодических функций. Таким образом, амплитудно-модулированное колебание является почти периодическим сигналом.

2.2 Частотная модуляция (ЧМ)

При частотной модуляции по закону модулирующего (передаваемого) сигнала

(2.15)

изменяется мгновенное значение частоты ω₁(t)носителя (рисунок 2.4)

. (2.16)

Мгновенное значение частоты ω₁ модулированного колебания определяется выражением

, (2.17)