Равномерное вращение сосуда вокруг вертикальной оси
В случае равномерного вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 1.5) вектор напряжения массовых сил
(1.51)
а уравнение Эйлера (1.10) имеет вид
dp = r [w2 ( xdx +ydy ) – gdz] = r (w 2 rdr – gdz). (1.52)
Уравнение свободной поверхности (р = р0 )
(1.53)
Уравнение любой изобарической поверхности (р = const)
(1.54)
где z0 - координата точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.
Изобарические поверхности - параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью оz , а вершины смещены вдоль этой оси. Форма изобарических поверхностей не зависит от плотности жидкости.
Высота параболоида свободной поверхности (R - радиус сосуда)
H = w 2R2/2g. (1.55)
Координата z0 его вершины определяется объемом жидкости в сосуде. Если начальный уровень в сосуде h0 , то
z0 = h - (1.56)
откуда h1 = h0 –z0 = H/2.
Закон распределения давления в жидкости
(1.57)
Рис. 1.5. Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с постоянной угловой скоростью w
Изменение давления по вертикали (h — глубина точки под свободной поверхностью) :
Р = Р0 + r gh,
т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.
Вопросы по теме 1.6.
1 . Какие силы действуют на жидкость при ее относительном покое?
2. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описывающее их уравнение при прямолинейном движении сосуда с постоянным ускорением?
3. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описывающее их уравнение при вращении сосуда с постоянной угловой скоростью и вертикальной осью вращения?
3. Каков закон распределения давления в жидкости по вертикали при ее относительном покое?
Основные понятия кинематики и динамики жидкости
Скорость частицы жидкости зависит от координат х, у, z этой частицы и времени t, т.е.
Плотность r и давление р также являются функциями координат и времени
r = r (x, y, z, t); p = p (x, у, z, t).
Если характеристики течения не зависят от времени, т.е. могут изменяться лишь от точки к точке, то течение называется установившимся. Если в данной точке пространства характеристики течения изменяются со временем, то течение называется неустановившимся.
Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой линии. Уравнения для линий тока имеют вид
(2.1)
где их, иy , uz — составляющие вектора скорости .
Совокупность линий тока, проходящих через замкнутый контур L, образует трубчатую поверхность — трубку тока. Жидкость, находящаяся внутри трубки тока, образует струйку. Если контур L мал, то трубка тока и струйка называются элементарными.
Сечение струйки s, нормальное в каждой своей точке к линиям тока, называется живым сечением.
Область пространства конечных размеров, занятая движущейся жидкостью, называется потоком. Поток обычно рассматривается как совокупность элементарных струек. Живое сечение потока определяется так же, как в случае элементарной струйки.
Гидравлический радиус Rг живого сечения определяется как отношение площади живого сечения s к смоченному периметру c, т.е.
Rг = s/c. (2.2)
Под смоченным периметром c понимается та часть геометрического живого сечения, по которой жидкость соприкасается с твердыми стенками.
Если форма и площадь живого сечения по длине потока не изменяются, то поток называется равномерным. В противном случае поток называется неравномерным. В том случае, когда живое сечение плавно изменяется по длине, течение называется плавно изменяющимся.
В живом сечении 1 — 1 (рис. 2.1) равномерного потока выполняется гидростатический закон распределения давления, т.е.
(2.3)
где рА, рB — соответственно давления в произвольных точках А и В (с вертикальными координатами za, zb) этого сечения; g — ускорение свободного падения. В случае плавно изменяющегося течения равенство (2.3) выполняется приближенно.
Расходом жидкости через поверхность s называется количество жидкости, протекающей через эту поверхность _в единицу времени. Объемный расход Q, массовый расход QМ > весовой расход qG определяются по формулам
, (2.4)
где иn — проекция скорости на нормаль к поверхности s.
Если s — живое сечение, то ип = u. Для однородной жидкости
Qm = rQ (2.5)
Рис. 2.1. Живое сечение равномерного потока
Средняя скорость u определяется из равенства
u=Q/s. (2.6)
Уравнение неразрывности для потока несжимаемой жидкости имеет вид
Q = u 1 s1 = u2s2, (2.7)
где u 1 , u2 — средние скорости в сечениях 1 - 1 и 2 - 2.
Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости при установившемся движении в поле силы тяжести имеет вид
(2.8)
где z1, z2 - расстояния от центров выбранных живых сечений 1 — 1 и 2 — 2 до некоторой произвольной горизонтальной плоскости z = 0 (рис. 2.2); u1, u2 - скорости; P1,P2 -давления в этих сечениях; h1-2 — потери напора на участке между выбранными сечениями.
Уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения механической энергии. Величина
(2.9)
называется полным напором и представляет собой удельную (приходящуюся на единицу силы тяжести) механическую энергию жидкости в рассматриваемом сечении; z — геометрический напор или удельная потенциальная энергия положения; p/(rg) — пьезометрический напор или удельная потенциальная энергия давления; u2/(2g) - скоростной напор или удельная кинетическая энергия; h1-2 — потери напора, т.е. часть удельной механической энергии, израсходованной на работу сил трения на участке между сечениями 1 — 1 и 2 — 2 (см. рис. 2.2).
В случае идеальной жидкости h1-2 =0.
Для плавно изменяющегося потока при установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести уравнение Бернулли имеет вид
(2.10)
где p1, p2 — давления в произвольно взятых точках сечений 1 — 1 и 2 — 2 скоординатами z1 и z2 соответственно (обычно берутся точки на оси потока); u 1 , u2 — средние скорости в этих сечениях; а1 , а2 — коэффициенты Кориолиса, учитывающие неравномерность распределения скоростей частиц жидкости в сечениях; при течении по круглой цилиндрической трубке a = 2 для ламинарного режима течения и a » 1,1 — для турбулентного; при решении практических задач обычно принимается a = 1.
При использовании уравнения Бернулли (2.8) или (2.10) необходимо иметь в виду, что номера сечений возрастают в направлении течения жидкости. В качестве расчетных выбираются такие сечения (струйки) , в которых известны какие-либо из величин u 1 , u2 (u1, u2) и р1, р2 .
Плоскость z = 0 бывает удобно располагать таким образом, чтобы центр одного из выбранных сечений потока лежал в этой плоскости.
Потери напора h1-2 , отнесенные к единице длины трубопровода, называются гидравлическим уклоном:
(2.11)
В случае равномерного движения несжимаемой жидкости
i = hl-2 / l, (2.12)
где l — расстояние между выбранными сечениями.
При движении жидкости по трубопроводу различают два вида потерь напора: потери по длине трубопровода hд и потери в местных сопротивлениях hм . К потерям по длине относят потери на прямолинейных участках трубопровода, а к потерям на местных сопротивлениях — потери на таких участках трубопровода, где нарушается нормальная конфигурация потока (внезапное расширение, поворот, запорная арматура и т.д.) .
Вопросы по теме 2.
1. Что называется линией тока?
2. Может ли жидкость протекать сквозь боковую поверхность трубки тока?
3. Что называется живым сечением потока?
4. Чем отличается уравнение Бернулли для струйки тока от уравнения Бернулли для потока?
5. Что такое гидравлический уклон?
6. Как определяется средняя скорость потока?
7. Какая связь между объемным, массовым и весовым расходами?
8. Как изменяются по длине неравномерного потока несжимаемой жидкости расход и средняя скорость?
Дата добавления: 2016-11-26; просмотров: 3252;