Логарифмические частотные характеристики систем
Амплитудно-фазовая частотная характеристика представляет собой выражение
(4.8)
Логарифмируя левую и правую части уравнения, найдем
(4.9)
Выражения lnA(ω) и φ(ω) представляют соответственно логарифмическую амплитудную (ЛАХ) и логарифмическую фазовую (ЛФХ) характеристики.
Для оценки отношения двух величин принято использовать логарифмическую единицу децибел (дБ). Связь между числом L и числом А дается формулой
L = 20lgA. (4.10)
Например, число А = 10 соответствует 20 дБ.
ПФ разомкнутых одноконтурных систем равна
(4.11)
Если представить в модулях и аргументах, т.е. в показательном виде, то
или в логарифмах
(4.12)
где L(ω) – логарифмическая частотная характеристика разомкнутой системы.
Из этого выражения вытекает следующее правило построения ЛАЧХ разомкнутых систем: строят ЛЧХ отдельных звеньев и затем их графически складывают.
Например: пусть дана ПФ разомкнутой системы
Подставив вместо р = jω и используя выражение (4.11), ЛАЧХ разомкнутой системы будет равна
Асимптотическая ЛАЧХ состоит из четырех асимптот. Вычисляются сопрягающие частоты ω1 = 1/10 = 0,1; ω2 = 1; ω3 = 1/0,1 = 10.
При частотах меньше сопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу (остальными членами пренебрегают).
Поэтому при ω < ω1 L(ω) ≈ 40 – 20lg ω – уравнение первой асимптоты.
1). Первую асимптоту проводят до первой сопрягающей частоты ω1 через точку с координатами ω1 = 0,1 и L(ω) = 60 дБ с наклоном -20дБ/дек.
L(ω1) = 40 – 20lg0,1 = 40 + 20 = 60 дБ.
2). Проводят вторую асимптоту от конца первой до второй сопрягающей частоты ω2. Ее наклон определяется в зависимости от того, является ли ω1 сопрягающей частотой форсирующего, апериодического или колебательного звеньев, т.е. +20, -20 или 40 дБ/дек. В данном случае ω1 – сопрягающая частота апериодического звена, следовательно, наклон будет равен – 20дБ/дек.
При ω1 ≤ ω < ω2 уравнение второй асимптоты примет вид:
L(ω) ≈ 40 – 20lg ω – 20lg 10ω = 40 – 20lg ω – 20lg 10 – 20lg ω = 20 – 40lg ω.
3). Далее получают уравнение для третьей асимптоты аналогично второй.
Проводят третью асимптоту от конца второй до третьей сопрягающей частоты ω3, наклон которой будет равен +20 дБ – форсирующее звено при ω2.
При ω2 ≤ ω < ω3 уравнение третьей асимптоты примет вид
L(ω) ≈ 20 – 40lg ω + 20lg ω = 20 - 20lg ω.
4). Проводят четвертую асимптоту от конца третьей сопрягающей частоты ω3 с наклон равным - 40 дБ – колебательное звено при ω3.
При ω ≥ ω3 уравнение третьей асимптоты примет вид
L(ω) ≈ 20 – 20lg ω - 40lg 0,1ω = 20 - 20lg ω - 40lg 0,1 - 40lg ω = 60 - 60lg ω.
ЛАЧХ разомкнутой системы примет вид, приведенный на рисунке 4.4.
Рисунок 4.4 – ЛАЧХ разомкнутой системы
Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 1897;