АФЧХ разомкнутых и замкнутых систем
Рассмотрим замкнутую одноконтурную систему, структурная схема которой приведена на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1 – Структурная схема замкнутой системы
ПФ разомкнутой системы равна произведению ПФ последовательно соединенных звеньев
(4.1)
Для простоты рассуждений рассмотрим частный случай, когда к1 = к2 = к и Т1 = Т2 = Т. Тогда выражение (5.1) примет вид
(4.2)
Для построения частотных характеристик системы необходимо в формулу (4.2) вместо оператора р поставить jω (р = jω). Комплексная переменная в знаменателе ПФ не допускается, поэтому числитель и знаменатель умножается на комплексно-сопряженное число.
(4.3)
В данном случае комплексная величина ПФ представлена в алгебраическом виде, т.е. состоящая из действительной и мнимой части Wp (jω) = X(ω) + jY(ω). В показательном виде комплексная переменная примет вид Wp (jω) = A(ω) ejφ , где А(ω) – амплитуда ПФ; φ – угол между действительной осью комплексной плоскости и вектором ПФ.
Тогда формулу (4.3) можно представить и показательной форме
(4.4)
Для построения АФЧХ необходимо изменять частоту от 0 до ∞ в любом из выражений ПФ разомкнутой системы (4.3) или (4.4).
В начале построения кривой АФЧХ находят две крайние точки при ω = 0 и ω = ∞. Тогда, пользуясь формулой (4.3), получим
при ω = 0 х (ω) = к2; у(ω) = 0 – точка лежит на действительной оси комплексной плоскости;
при ω = ∞ х (ω) = 0; у(ω) = 0.
Если использовать показательную форму (4.4), то при ω = 0 А (ω) = к2; φ(ω) = 0 – точка лежит на действительной оси комплексной плоскости;
при ω = ∞ А (ω) = 0; φ(ω) = 0.
Теперь необходимо определить точки пересечения кривой АФЧХ только с мнимой осью У комплексной плоскости, т.к. координатную функцию х (ω) при пересечении с действительной осью уже определили при ω = 0. Для этого приравняем действительную часть х (ω) к нулю и найдем частоту ω0, а затем подставим ее в мнимую часть у(ω) формулы (4.3).
х (ω) = 0; 1 – Т2 ω2 = 0.
Тогда ω0 = 1/Т – частота, при которой действительная часть х (ω) = 0.
Подставив полученную частоту в мнимую часть формулы (4.3), получим значение координаты точки пересечения кривой АФЧХ с мнимой осью у(ω0) = - 0,5. Через тир точки можно приблизительно показать кривую АФЧХ. Более точную кривую строят при частотах от ω= 0 до ω0 с произвольным шагом.
Рисунок 4.2 – АФЧХ разомкнутой системы
ПФ замкнутой системы (см. рисунок 5.1) равна
(4.5)
Для построения АФЧХ используется не все выражение (4.5), а только знаменатель, называемый характеристическим уравнением замкнутой системы. Вид кривой характеристического уравнения лежит в основе частотного критерия Михайлова, а сама кривая АФЧХ называется кривой Михайлова.
Характеристическое уравнение замкнутой системы равно
Т2р2 + 2Тр + 1 + к2 кос = 0. (4.6)
Подставим р = jω в характеристический полином, получим
-Т2ω2 + j 2Tω + 1+ k2 koc = X(ω) + jY(ω) = (1+ k2 koc - Т2ω2) + j 2Tω, (4.7)
где X(ω) = 1+ k2 koc - Т2ω2 – действительная часть вектора полинома;
jY(ω) = 2Tω – мнимая часть вектора полинома.
Кривая АФЧХ строится аналогично: изменяя частоту ω от 0 до ∞ находят точки координат на комплексной плоскости, подставляя дискретные значения частот в выражение (4.7). Степень полинома характеристического уравнения определяет квадрант окончания АФЧХ, т.е. вектора знаменателя ПФ при ω = ∞.
Находим координаты при двух крайних частотах:
при ω = 0 Х(0) = 1+ k2 koc ; У(0) = 0;
при ω = ∞ Х(∞) = - ∞; У(∞) = ∞.
Частота ω0, при которой происходит пересечение кривой с мнимой осью находится при Х(ω) = 0
1+ k2 koc - Т2ω2 = 0,
Подставив найденную частоту ω0 в мнимую часть У(ω), получим значение координаты точки пересечения кривой АФЧХ с мнимой осью комплексной плоскости
Рисунок 4.3 – АФЧХ замкнутой системы
Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 4318;