БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ. Основные определения

Определение 1.1. Пусть A – некоторое множество. Рассмотрим декартово произведение и некоторое его подмножество . Тогда называется бинарным отношением на множестве A.

Говорят, что элемент находится в отношении с элементом , если упорядоченная пара . Этот факт также записывают в виде .

Примеры. 1) Пусть . Определим бинарное отношение на множестве R следующим образом: , .

2) Пусть A – множество студентов потока, тогда – множество упорядоченных пар студентов. Рассмотрим , определяемое следующим образом: студенты x и y учатся в одной группе.

Рассмотрим ряд определений, связанных с понятием бинарного отношения.

Определение 1.2. Пусть , , т. е. отношение не выполняется ни для одной пары элементов множества A. Тогда отношение называется пустым .

Пример. Пусть , тогда . Рассмотрим отношение . Очевидно, что .

Определение 1.3. Пусть . Тогда отношение называется полным.

Определение 1.4. Пусть . Рассмотрим бинарное отношение . Бинарное отношение называется дополнительным к бинарному отношению .

Пример. Рассмотрим предыдущий пример, где A – множество студентов потока и бинарное отношение определяется так: студенты x и y учатся в одной группе. Тогда студенты x и y учатся в разных группах.

Определение 1.5. Пусть . Рассмотрим бинарное отношение , определяемое следующим образом: . Бинарное отношение называется противоположным бинарному отношению .

Примеры. 1) Пусть . Пусть , . Тогда .

2) Пусть A – множество студентов потока и бинарное отношение определяется так: студенты x и y учатся в одной группе. Тогда, очевидно, .