Понятие поля. Консервативные силы. Потенциальная энергия

Если в каждой точке пространства частица подвержена действию других тел, то эта частица находится в поле сил. Существуют гравитационное, электрическое, магнитное поле и другие поля. Однородным называется поле, где на тело действует сила, одинаковая по величине и направлению в каждой точке пространства. Если сила зависит от расстояния до некоторого центра, то поле называется центральным. Если можно задать явно потенциальную энергию тела U(r), то поле является потенциальным. Потенциальная энергия задается с точностью до произвольной постоянной.

Связь между силой и потенциальной энергией в случае потенциального поля в векторном виде имеет вид

(3.8)

В декартовой системе координат:

(3.9)

Элементарная работа силы в потенциальном поле записывается в виде

(3.10)

Работа, совершаемая над материальной точкой силами стационарного потенциального поля, не зависит от пути, по которому движется точка (рис. 3.3).

Рис. 3.3.

Проинтегрируем соотношение (3.10) по пути а вдоль траектории от точки 1 до точки 2

(3.11)

где - потенциальная энергия в точках 1 и 2. При интегрировании по пути b получим тот же результат.

Консервативной называется сила, работа которой не зависит от пути переходa из одного положения в другое.

Работа потенциальных сил равна разности потенциальных энергий материальной точки в начальном и конечном положениях:

Покажем, что работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю. Полная работа при движении по замкнутому пути равна сумме работы , совершаемой в прямом и работы в обратном направлении: но т.к. изменяется направление пути (рис. 3.4), поэтому работа на замкнутом пути равна нулю.

Если в системе действуют неконсервативные силы, то такая система называется диссипативной.

Рис. 3.4.

Пример 1.

Потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h в однородном поле тяжести:

(3.12)

Потенциальная энергия отсчитывается от поверхности Земли, т.е. при , , следовательно, константа C = 0. Найдем силу, действующую на тело из соотношения (3.8):

(3.13)

Сила P называется силой тяжести, знак минус показывает, что направление силы тяжести противоположно направлению оси h.

При перемещении материальной точки из положения в положение совершается работа

(3.14)

Очевидно, что сила тяжести является консервативной, а поле тяжести потенциальным.

Пример 2.

В поле центральных сил потенциальная энергия:

(3.15)

Гравитационная сила, с которой тело массой M действует на тело массой m:

(3.16)

где - единичный вектор, проведенный из центра тяжести тела массой M в данную точку поля.

Потенциальная энергия примет вид

(3.17)

Произвольная постоянная C выбирается в данном случае таким образом, чтобы на бесконечности U(r) = 0, следовательно, C = 0. Таким образом, получим потенциальную энергию тела массой m в гравитационном поле:

(3.18)

Работа сил гравитационного поля не зависит от формы траектории тела, а определяется только координатами начальной и конечной точек:

(3.19)

поэтому гравитационная сила является консервативной.