Свойства параллельного проектирования

Пусть даны плоскость a и пересекающая ее прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку X, не принадлежащую прямой а, и проведем черйз Х прямую а', параллельную прямой а (рис. 1). Прямая а' пересекает плоскость в некоторой точке X', которая называетсяпараллельной проекцией точки Х на плоскость a .

Если точка Х лежит на прямой а, то ее параллельной проекцией А' является точка, в которой прямая а пересекает плоскость a.

Если точка Х принадлежит плоскости a, то точка X' совпадает с точкой X.

Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а, то каждой точке Х пространства можно поставить в соответствие единственную точку Х' - параллельную проекцию точки Х на плоскость a (при проектировании параллельно прямой а). Плоскость a называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она задает направление проектирования - при замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задают одно и то же направление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.

Теорема. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.

При изображении геометрических тел на плоскости необходимо следить за тем, чтобы указанные свойства выполнялись. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непараллельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается произвольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то на проекции его медиана должна соединять вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

И еще одно требование необходимо соблюдать при изображении пространственных тел на плоскости - это способствовать созданию верного представления о них.