Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b называется наибольшим общим делителем данных чисел. Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обозначать D(а, b).

Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1,2,3,6. Число 6 - наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12,8)=6.

Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел а и b. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(а, b) = 1, а числа а и b называются взаимно простыми.

Например, числа 14 и 15 - взаимно простые, так как D (14, 15) = 1.

Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверждения:

1. Наибольший общий делитель чисел а и b всегда существует и является единственным.

2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т.е. если а < b, то D (а, b) £ а.

3. Наибольший общий делитель чисел а и b делится на любой общий делитель этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е.

К(а, b)×D(а,b)=а×b.

Из этого утверждения вытекают следующие следствия:

а) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел, т. е. D(а,b) = 1 Þ К(а,b)=а× b.

Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно их перемножить, так как D (14, 15) = 1.

б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на m, и на n.

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

Например, так как 6=2× 3 и D(2,3)=1, то получаем признак делимости на 6: для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Заметим, что данный признак можно применять многократно. Сформулируем, например, признак делимости на 60: для того чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 4, и на 15. В свою очередь, число будет делиться на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 5. Обобщая, получаем следующий признак делимости на 60: для того чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.