Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая описывается уравнением . Рассмотрим дугу этой кривой при . Обозначим длину этой дуги через . Предположим, что на промежутке существует непрерывная производная .

Чтобы вычислить длину дуги, выделим на дуге элементарный участок, соответствующий изменению аргумента на промежутке . Обозначим бесконечно малый элемент длины дуги . Вычислим , заменив бесконечно малую дугу её хордой, величину величиной и применив теорему Пифагора.

или

.

Тогда

.

Замечание. Если дуга кривой описана уравнением , , то получим

и

.

Если же дуга описывается параметрически

то

и

.

.

Вычисление площади поверхности тела вращения

Рассмотрим поверхность, образованную вращением вокруг оси дуги кривой (рис. 10). Предположим, что функция имеет непрерывную производную при всех . Будем искать площадь поверхности , отсеченной плоскостями , . Для этого выделим на дуге элемент, соответствующий изменению абсциссы от до , и будем его вращать.

В качестве бесконечно малого элемента примем площадь боковой поверхности усеченного конуса с образующей и радиусом среднего сечения , где – ордината, соответствующая абсциссе .

Действительно,

.

Однако вторым слагаемым в последней части равенств можно пренебречь как бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем . Тогда

.

.

Замечание 1. Если дуга кривой описана уравнением , , то получим

.