СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

Равнодействующая сил тяжести называется ВЕСОМ ТЕЛА.

Равнодействующая сил тяжести проходит через центр тяжести при любом положении тела относительно земли.

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами

, ,

где - координаты точек приложения сил тяжести .

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

4.3.1. СИММЕТРИЯ

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести С лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

4.3.2. РАЗБИЕНИЕ

Если тело можно разбить на конечное множество таких частей, для которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно вычислить по известным формулам:

а) если тело имеет вид решетки или каркаса из однородных тонких прутков,

то , где - длина прутка; - интенсивность силы тяжести.

, ,

где - координаты центров тяжести отдельных участков.

ПРИМЕР:

Определить положение центра тяжести С однородного проволочного контура АВС, состоящего из трех прямолинейных отрезков. |AB|=|AC|=a, BAC=30⁰, |BC|=b.

РЕШЕНИЕ:

Проволочный контур имеет ось симметрии, вдоль которой направим ось Х.

Взяв начало координат в т.А, направляем ось У вертикально вверх. Так как центр тяжести С контура лежит на оси симметрии, то У_С=0.

Для определения координаты Х_С целесообразно разбить контур на отдельные стержни и найти координаты их центров тяжести (центры тяжести стержней расположены в середине стержня):

Подставляя полученные выражения в формулу определения координаты центра тяжести Х_С контура, получим:

б) Если тело составлено из плоских или изогнутых однородных пластин, то

где - площадь участка; - сила тяжести единицы площади пластины

, ,

где - координаты центров тяжести отдельных участков фигуры площадью .

ПРИМЕР:

Определить координаты центра тяжести однородной пластины. Все размеры даны в сантиметрах.

РЕШЕНИЕ:

Выберем оси системы координат и разобьем пластину на три прямоугольника. Вычислим координаты центров тяжести каждого из прямоугольников и их площади. Результаты занесем в таблицу

Площадь всей пластины

S=S₁+S₂+S₃=4+20+21=36 см²

Подставляя вычисленные величины в формулы для определения координат центра тяжести, получим:

3) Если тело составлено из объемов , то

где - сила тяжести единицы объема

, ,

- координаты центров тяжести отдельных объемов.

4.3.3. ДОПОЛНЕНИЕ

Данный способ является частным случаем разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. При этом площадь вырезанной части берется с минусом.

Пример:

Определить положение центра тяжести круглой пластины радиуса R с вырезом r.Расстояние С₁С₂=a.

РЕШЕНИЕ:

Центр тяжести пластины лежит на линииС₁С₂,так как эта линия является осью симметрии. Тогда, если выбрать ось X совпадающей с линией С₁С₂, то координата центра масс пластины Y_C=0 и необходимо определить только координату X_C.

Определим площадь пластины без выреза: S₁=pR²

Определим площадь вырезанной части : S₂= –pr²

S₂ – отрицательная величина, т.к. при использовании способа дополнения площадь вырезанной части берется со знаком минус.

Определим площадь пластины с вырезом:

S₂= S₁+S₂= p(R²–r²)

Определим координату X_C:

Найденный центр тяжести С, как видим, лежит левее точки С₁.