Построение линии пересечения поверхности с плоскостью частного

Положения

В этом случае решение задачи значительно упрощается, т.к. нам сразу становится известна одна проекция линии пересечения. Она будет совпадать с вырожденной проекцией плоскости и лежать внутри очерка поверхности, поэтому остаётся построить лишь вторую проекцию искомой линии пересечения. Для этого нужно воспользоваться вспомогательными линиями, лежащими на поверхности (параллелями или образующими).

Пример.

Построить линию пересечения сферы с фронтально проецирующей плоскостью S.

3. Построение точки пересечения линии с поверхностью

Данная задача решается с помощью вспомогательной секущей поверхности.

Алгоритм решения:

1) заданную линию заключаем во вспомогательную поверхность Q.

2) строим линию пересечения вспомогательной поверхности Q с заданной поверхностью F.

3) построенная линия n и заданная линия лежат на поверхности Q, а, значит, будут пересекаться. Точка их пересечения будет являться искомой точкой пересечения линии с поверхностью F.

В качестве вспомогательной поверхности Q обычно используют:

1) плоскость (если заданная линия является прямой или плоской кривой);

2) проецирующая цилиндрическая поверхность (если заданная линия является пространственной кривой).

Пример.

Построить точку пересечения линии с конической поверхностью общего вида

4. Взаимное пересечение поверхностей. Общий случай пересечения поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае является пространственной кривой, порядок которой = произведению порядков пересекающихся поверхностей.

Графически порядок кривой и поверхности определяется числом возможных точек пересечения с произвольной прямой.

Чтобы построить эту линию, необходимо воспользоваться вспомогательными секущими поверхностями.

Решение:

1) 2) 3)

1. Обе заданные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью S. В качестве вспомогательной чаще всего используются плоскости, сферы или проецирующие цилиндрические поверхности.

2. Строятся линии пересечения вспомогательной поверхности S с каждой из заданных поверхностей.

3. Построенные линии m и n лежат на одной и той же поверхности S, а значит, пересекаются в точках M и N. Эти точки будут общими для трёх поверхностей: , а значит, будут принадлежать искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Для построения других точек линии пересечения необходимо провести ещё несколько секущих поверхностей и выполнить аналогичные построения.

Найденные точки соединяются плавной линией по лекалу с учётом видимости. При этом нужно определить также и видимость очерковых линий поверхностей.

Выбор и расположение секущих вспомогательных поверхностей определяется следующими обстоятельствами:

1) желательно, чтобы линии пересечения вспомогательной поверхности с заданными были графически простыми линиями;

2) и чтобы они (эти линии) проецировались на какую-либо плоскость проекций без искажения.

5. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Чаще всего в качестве вспомогательных используются проецирующие плоскости и плоскости уровня. Однако, в случае пересечения двух линейчатых поверхностей иногда используют плоскости общего положения.

Сложность решения задачи в многом определяется сложностью построения линий пересечения вспомогательной поверхности с заданной. Чем проще будут эти линии (прямые или окружности), тем проще будет решение задач.

Среди точек линии пересечения есть такие, которые выделяются своим особым положением среди остальных точек (самая верхняя и самая нижняя, крайняя правая и левая, точки – границы видимости и т.д.). Такие точки называются особыми или опорными, и строить их нужно в первую очередь.

Обычно эти точки находятся сразу без применения дополнительных построений. Остальные точки линии пересечения называются промежуточными, и все они строятся с помощью одного и того же приёма.

Пример.

Построить линию пересечения сферы с прямым круговым конусом.

1) 2) 3) 4) 5) 6)