Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения.

Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

– дисперсия невзвешенная (простая);

– дисперсия взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S:

– среднее квадратическое отклонение невзвешенное;

– среднее квадратическое отклонение взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Порядок расчета дисперсии взвешенной:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную .

2. Определяют отклонения вариант от средней .

3. Возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней .

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты) .

5. Суммируют полученные произведения:

.

6. Полученную сумму делят на сумму весов:

.

Свойства дисперсии:

1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение – в к раз.

4. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: . Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.

Порядок расчета дисперсии простой:

1. Определяют среднюю арифметическую .

2. Возводят в квадрат среднюю арифметическую.

3. Возводят в квадрат каждую варианту ряда

4. Находят сумму квадратов вариант .

5. Делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат:

.

6. Определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней:

.