Задания для индивидуальной работы
По методу начальных параметров в предлагаемых задачах необходимо:
Задача 8.9.1. –Определить прогиб и угол поворота сечения в т.В.
Задача 8.9.2. –Определить прогиб посредине балки и углы поворота на концах консолей.
Задача 8.9.3. –Определить проги б и угол поворота сечения в т.С.
8.9.5 Вычисление перемещений балки энергетическими методами
Выше были рассмотрены аналитические методы определения перемещений в сечениях балки, и дающие точное решение задачи. Однако часто нас интересует не вся упругая линия балки, а только перемещения в каком-либо сечении. Тогда для определения прогиба или угла поворота балки удобно пользоваться другим подходом, часто используемым на практике. Такой подход основывается на применении энергетических методов, дающих в общем случае хотя и приближенные решения, но приемлемые с практической точки зрения Энергетические методы основываются на применении выражения для потенциальной энергии упругой деформации балки.
8.9.5.1. Потенциальная энергия упругой деформации балки при изгибе
Согласно закону сохранения энергии работа внешних сил А в положении равновесия тела равна потенциальной энергии его упругой де формации V:
В общем случае потенциальную энергию для балки можно вычислить так:
где – обобщенная сила (сосредоточенная сила , внешний момент ); – соответствующее обобщенной силе обобщенное перемещение (прогиб 𝓌, угол поворота сечения балки ).
Например, для случаев нагрузки балки (рис. 8.41):
– обобщенные силы;
Рисунок 8.41 – Обобщенные силы и обобщенные перемещения для балки
Таким образом, термин «обобщенная сила» отвечает нагрузке, а соответствующее этой нагрузке перемещение называется «обобщенным перемещением».
При поперечном изгибе балки обычно пользуются следующим приближенным выражением для потенциальной энергии (без учета перерезывающих сил, что дает малую добавку):
где – изгибающий момент в сечении балки длиной l;
– изгибная жесткость балки.
Использование выражения для потенциальной энергии упругой деформации балки (8.57) позволяет рассчитать перемещения в требуемом сечении балки х с помощью энергетических методов на основе:
а) теоремы Костильяно;
б) интеграла Мора;
в) графоаналитического способа Верещагина.
8.9.5.2. Теорема Кастильяно
Она формируется следующим образом: частная производная от потенциальной энергии по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе.
Так, прогиб балки 𝓌 в точке приложения сосредоточенной силы Р (см.рис.8.41,а) равен:
а угол поворота сечения , где действует внешний момент , вычисляется по формуле:
Рассмотрим применение теоремы Кастильяно для простейших случаев нагрузки балки.
Случай 1. Определить прогиб конца балки в т.В (рис.8.42).
Рисунок 8.42 – К определению прогиба балки на конце консоли
Решение
Изгибающий момент в сечении х балки равен:
а частная производная . Тогда на основании выражения (8.58) прогиб балки в т.В будет равен:
Знак плюс в полученном выражении соответствует прогибу балки в направлении действия сосредоточенной силы Р.
Данный результат соответствует точному решению задачи, полученному путем интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки (см.п.8.9.2).
Случай 2. Определить угол поворота сечения в т.В балки (рис.8.43).
Рисунок 8.43 – К определению угла поворота сечения балки на опоре В
Решение
Изгибающий момент в сечении х балки равен:
где – реакция балки на опоре А, равная по условиям статики
Тогда:
По формуле (8.59) имеем:
Знак плюс в выражении для говорит о повороте сечения в т.В в направлении действия момента .
Примечание: 1. В данном методе прогиб балки в точке по ее оси можно определить только в случае приложения в точке сосредоточенной силы Р, а угол поворота сечения – только в случае приложения в месте сечения внешнего момента .
2. При нескольких участках внешней нагрузки, где уравнения для изгибающих моментов будут разными, интегрирование по формулам (8.58) и (8.59) необходимо проводить отдельно по каждому участку.
3. Если требуется найти перемещение в сечении балки, где не приложена соответствующая обобщенная сила, то в этом сечении мысленно прикладывается дополнительная обобщенная сила ( ), которая принимается равной нулю после дифференцирования по ней под знаком интеграла.
8.9.5.3. Интеграл Мора
Интеграл Мора позволяет вычислять перемещения балок, если определение производных от изгибающего момента в выражениях теоремы Кастильяно заменить вычислением изгибающих моментов от единичной нагрузки . Тогда перемещения балки рассчитываются по формулам:
где - выражение изгибающего момента на участке балки от заданных сил в принятом сечении; – выражение изгибающего момента в принятом сечении от действия силы или единичного момента
Следовательно, производная от изгибающего момента по обобщенной силе – это то же самое, что и изгибающий момент от единичной силы.
Так, для рассмотреного случая 1 (рис. 8.44) равен
Тогда
Рисунок 8.44 – К вычислению интеграла Мора
Как видно, решения по теореме Кастильяно и с использованием интеграла Мора совпадают.
8.9.5.4. Графоаналитический способ Верещагина
Вычисление интеграла Мора по определению перемещений можно проводить по графоаналитическому способу Верещагина. По этому способу перемещение в направлении приложенной единичной силы определяется по формуле:
где – площадь эпюры изгибающих моментов М от заданной нагрузки для балки; – ордината эпюры изгибающих моментов от единичной нагрузки под центром тяжести площади .
В применении способа Верещагина необходимо учитывать следующее:
а) эпюры изгибающих моментов должны быть разбиты на такие участки, в пределах каждого из которых хотя бы одна из эпюр была линейной;
б) при перемножении эпюр ставим знак минус, если эпюры находятся по разные стороны от оси отсчета.
Для практического вычисления перемещений по способу Верещегина необходимо:
1) построить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (основная эпюра);
2) снять с балки заданную нагрузку и приложить в сечении, перемещение которого ищется в направлении этого перемещения, единичную силу, когда ищется прогиб, или единичный момент, если искомым является угол поворота сечения;
3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки (единичная эпюра);
4) разбить эпюры от заданных нагрузок на отдельные площади и вычислить ординаты единичной эпюры под центром тяжести этих площадей.
5) составить произведение и просуммировать их.
Рассмотрим типичные случаи нагрузки балки.
Таблица 8.2 – Площади эпюр и положения их центров тяжести
Вид эпюры изгибающего момента | Величина площади | Координата центра тяжести хц.т. | |
| |||
Случай3. Определить прогиб балки в т.В под силой Р (рис.8.45, а).
Решение
Площадь эпюры М от силы Р равна: (рис.8.45, б).
Ординату эпюры М от действия на балку единичной силы (рис.8.35, в) находим из подобия треугольников (рис.8.35, г):
Рисунок 8.45 – К вычислению прогиба балки в т. В по способу Верещагина
В итоге по формуле (8.62) находим прогиб балки на конце консоли в т.В, где приложена сосредоточенная сила Р:
Полученный результат совпадает с предыдущими решениями с использованием теоремы Кастильяно и интеграла Мора.
Случай 4.Определить прогиб балки в т.С под силой Р (рис.8.36, а).
Эпюра моментов балки (рис. 8.36, б) под заданной нагрузкой состоит из двух треугольников, площади которых равны:
Рисунок 8.46 – К вычислению прогиба балки в т. С
Решение
Для балки под единичной силой (рис.8.36, в) на эпюре М ординаты под центром тяжести площадей основной эпюры равны:
.
Прогиб под силой Р в т.С по формуле (8.62) будет:
Случай 5. Определить угол поворота сечения балки а т.С, где приложен внешний момент 𝔐(рис. 8.47, а).
Решение
Как и в предыдущем случае, основная эпюра изгибающих моментов для балки (рис.8.37, б) состоит из двух площадей:
Рисунок 8.47 – К вычислению угла поворота балки в т. С |
Тогда угол поворота сечения балки в т.С от действия момента будет равен на основании формулы (8.62):
8.9.6 Решение типовых задач по определению перемещений балки энергетическими методами. Задания для индивидуальной работы
Пример 8.9.1. Введение дополнительной нагрузки. Для балки на рис.8.48, жестко заделанной одним концом и загруженной на другом конце сосредоточенной силой Р, определить угол поворота консоли в т.В по теореме Кастильяно.
Решение
Непосредственно применить теорему Кастильяно к определению угла поворота конца консоли нельзя, т.к. в этом сечении нет обобщенной силы в виде внешнего момента. Поэтому вводится в этом сечении мысленный дополнительный момент (см. рис. 8.48), направленный произвольно, который в окончательных расчетах следует положить равным нулю.
По теореме Кастильяно прогиб сечения балки в т.В по формуле (8.59)будет равен:
Выражение для изгибающего момента в сечении х (его удобно отсчитывать от конца консоли) описывается зависимостью Пределы интегрирования при отсчете х от конца консоли будут 0 и l. Тогда угол поворота конца консоли соответствует выражению:
А так как дополнительную нагрузку мы ввели мысленно и ее на самом деле нет, то под знаком интеграла ее следует положить равной нулю ( ):
Знак минус свидетельствует о принятом правиле знаков для перемещений: сечение конца консоли от силы Р поворачивается почасовой стрелке.
Пример 8.9.2. Наличие нескольких участков внешней нагрузки. Для балки на рис.8.49 найти угол поворота сечения С по теореме Кастильяно.
Рисунок 8.49 – К определению угла поворота сечения балки по теореме Кастильяно
Решение
В т.С балки приложен внешний момент , поэтому в этом сечении можно найти угол поворота согласно условиям применения теоремы Кастильяно.
Точка приложения момента делит балку на два участка ВС и АС. Поэтому угол поворота сечения в т. С определим по этим двум участкам:
где и – изгибающие моменты в сечении т. С соответственно первого и второго участков.
Пределы интегрирования по участкам целесообразно указывать тогда, когда будет решено, от каких точек по длине балки удобно отсчитывать координату х сечений по участкам.
Для первого участка ВС координату удобно отсчитывать от конца консоли т.В, так как в выражение для изгибающего момента в этом сечении не войдут другие силовые факторы для балки (внешний момент , реакции заделки в т.А).
Тогда
Отсюда первый интеграл в выражении для будет равен нулю.
При установлении изгибающего момента на втором участке АС координату удобно отсчитывать от т.С ( ), чтобы нижний предел второго интеграла был равен нулю. Тогда изгибающий момент на втором участке будет (отбрасываем мысленно правую от сечения часть балки):
Определившись с пределами интегрирования на втором участке, получаем:
Таким образом, искомый угол поворота сечения балки в т.С является суммой двух факторов: первого, вызванного силой Р и направленного по часовой стрелке (угол отрицателен) и второго – от момента при угле поворота сечения против часовой стрелки (угол положителен).
Дата добавления: 2016-10-18; просмотров: 5506;