Пример решения типовой задачи о расчете геометрических характеристик сечения бруса. Задания для индивидуальной работы

Пример 5.1. Для сечения составного двутавра (рис. 5.6) определить положение центра тяжести и центральный момент инерции Iz относительно горизонтальной оси z, проходящей через центр тяжести сечения (размеры даны в мм).

Рисунок 5.6 – Сечение составного двутавра

Решение

Рассматриваемое сечение является сложным, состоящим из нескольких простых (верхняя и нижняя полки, стенка – см. рис. 5.6). Для определения геометрических характеристик сложных сечений выбирают произвольную ось сравнения (о.с.), от которой отсчитывают отстояние центров тяжести простых сечений. В нашем примере принято: ось сравнения (о.с) _, нейтральная ось (н.о.) z, проходит через центр тяжести сечения т.С.

Требуемые в задании геометрические характеристики определим в следующей последовательности:

1.Сечение симметрично относительно вертикальной оси у, следовательно центр тяжести сечения (т.С) лежит на этой оси и , а положение центра тяжести по вертикали у_с рассчитываем по формуле:

где (і=1,2,3) – статические моменты элементов сечения, см³; – площади сечений этих элементов, см².

Для верхней полки 1 – см. рис. 5.6: центр тяжести этой полки отстоит от о.с. на расстоянии поэтому

Для стенки 2: центр тяжести стенки отстоит от о.с. на расстояние поэтому

Для нижней полки 3: центр тяжести этой полки отстоит от о.с. на расстоянии поэтому

Тогда ордината центра тяжести всего сечения равна:

2. Центральный момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z, проходящий через центр тяжести сечения (т.С), рассчитывается по формуле:

где – собственные моменты инерции составляющих сечение элементов относительно горизонтальных осей, которые проходят через их центры тяжести, ; – переносные моменты инерции составляющих сечение элементов относительно о.с. , см⁴.

Элементы всего сечения представляют собой прямоугольники, моменты инерции которых относительно горизонтальной оси рассчитываются по формуле (см. табл. 5.1):

где – ширина элемента сечения (горизонтальный размер); - высота элемента сечения.

В нашем примере:

- для верхней полки

- для стенки

- для нижней полки

Выполним расчет переносных моментов инерции элементов сечения:

- для верхней полки

- для стенки

- для нижней стенки

Тогда окончательно для всего сечения составного двутавра центральный момент инерции относительно центральной оси z будет равен: