Статические моменты сечения и координаты его центра тяжести

Рассмотрим брус в системе координат хуz, имеющий по линии а-а (рис. 5.3, а) произвольное по форме сечение (рис.5.3,б):

Рисунок 5.3 – Брус произвольного поперечного сечения

(5.1)

Выделим на площади сечения бруса F элементарную площадку ΔF с координатами ее центра тяжести у и z (см. рис. 5.3, б). Тогда статическими моментами Sz и Sу площади сечения бруса как плоской фигуры будут пределы сумм произведений всех элементарных площадок ΔF на координаты их центров тяжести у и z, что выражается определенными интегралами вида:

(5.2)

Следовательно, статический момент площадки сечения относительно какой-либо оси есть произведение площади этой фигуры на отстояние ее центра тяжести до этой оси. А если площадь сечения F состоит из нескольких площадей F_i с координатами центров тяжести у_i и z_i, то статические моменты этой площади можно получить путем суммирования составляющих этой площади:

Отметим, что размерность статического момента есть (длина³), т.е. м³ или см³. Статический момент может быть положительным или отрицательным в зависимости от знаков координат центра тяжести у или z.

(5.3)

С другой стороны, статические моменты по формулам (5.1) можно выразить через координаты центров тяжести площади сечения у_с и z_с (см. рис. 5.3,б):

(5.4)

откуда получаем выражение для координат центра тяжести сечения:

(5.5)

Аналогично, для нескольких площадей F_i, составляющих поперечное сечение, на основании формул (5.2) можно получить координаты центров тяжести сложного сечения через сумму статических моментов составляющих его простейших сечений:

Заметим, что любое сложное сечение можно разбить с достаточной точностью на простейшие прямоугольники, а по контуру – на треугольники, и, воспользовавшись формулами (5.5), найти координаты центра тяжести всего сечения.

Отметим также, что на основании формулы (5.3) статические моменты относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю.

(5.6)

Статические моменты сечений Sz и Sу называются также осевыми. В то же время существует понятие полярного статического момента относительно точки С (см. рис 5.3,б):

где – расстояние центра тяжести элементарной площади до т.О.

В отличие от осевых статических моментов полярный статический момент может быть только положительным.