Равновесная концентрация свободных носителей заряда

Для расчета удельной электрической проводимости необходимо знать концентрацию свободных носителей заряда в полупроводнике. Формулы для расчета равновесной концентрации электронов и дырок (концентрации в равновесном состоянии) приведены в [1,2]:

(1.2)

(1.3)

где и – эффективные плотности разрешенных состояний, определяемые физическими константами. Эти величины довольно слабо зависят от различных факторов, и их в первом приближении можно считать постоянными.

Выражения (1.2) и (1.3) справедливы как для собственного полупроводника, так и для примесных полупроводников. Различие в концентрациях

определяется положением уровня Ферми, формулы для расчета которого в собственном и примесных полупроводниках также приведены в [1,2]:

W_Fi W_i , (1.4)

kT , (1.5)

, (1.6)

где W_i = –энергетический уровень, соответствующий середине запрещенной зоны.

Перемножим левую и правую части выражений (1.2) и (1.3):

. (1.7)

Из выражения (1.7) следует, что в любом полупроводнике произведение концентрации электронов и дырок определяется двумя важнейшими факторами – шириной запрещенной зоны энергетической диаграммы и температурой. В конкретном полупроводниковом материале ширина запрещенной зоны постоянна, и произведение концентрации электронов и дырок зависит только от температуры. Вравновесном состоянии, когда температура не изменяется, оно остается постоянным, как в собственном, так и в примесных полупроводниках, независимо от типа примеси и ее концентрации.

Учитывая, что = , из выражения (1.7) получим формулу для расчета собственной концентрации:

. (1.8) Из выражения (1.8) следует, что собственная концентрация экспонен- циально зависит от температуры и ширины запрещенной зоны. С ростом температуры концентрация резко возрастает (см. рис.1.4).

Рис. 1.4. Зависимость собственной концентрации от температуры.

При увеличении ширины запрещенной зоны концентрация резко убывает. Так при Т = 300 Ксобственная концентрация составляет: в германии - ; в кремнии - ; в арсениде галлия - .

Как уже отмечалось в п. 1.2, в примесных полупроводниках основные носители образуются в основном за счет ионизации атомов примеси. Учитывая, что при ионизации одного атома примеси образуется один носитель, запишем выражения для равновесной концентрации основных носителей в электронном и дырочном полупроводнике:

N_{D ,} (1.9)

N_{A .} (1.10)

Учитывая, что в любом полупроводнике = , получаем формулы для расчета равновесной концентрации неосновных носителей заряда:

, (1.11)

. (1.12)

Как видно из приведенных выражений, с ростом концентрации примеси концентрация неосновных носителей резко уменьшается, что объясняется резким увеличением скорости рекомбинации при увеличении концентрации основных носителей заряда. Для иллюстрации сказанного предположим, что в монокристалл кремния введена донорная примесь с концентрацией N_D Тогда в соответствии с (1.9) концентрацияэлектронов(основных носителей) . С учетом того, что при Т = 300 К собственная концентрация электронов составляет примерно ,концентрация дырок (неосновных носителей) в соответствии с (1.11) будет равна .Таким образом концентрации основных и неосновных носителей различаются на десять (!) порядков.

На рис. 1.5 приведены зависимости концентрации основных и неосновных носителей заряда в полупроводнике -типа от температуры. Как видно из рисунка, можно выделить три характерных участка на оси

Рис. 1.5. Зависимости концентрации основных и неосновных носителей заряда от температуры.

температуры (обозначены цифрами), различающиеся поведением концентрации основных носителей заряда (электронов). Конкретные границы этих участков могут заметно различаться для разных материалов, но характер физических процессов при этом сохраняется.

На 1-ом (самом «холодном») участке тепловая генерация выражена очень слабо, потому концентрация дырок остается на несколько порядков ниже концентрации донорной примесиN_D, и ее график совпадает с осью абсцисс. С другой стороны, на этом участке происходит интенсивная ионизация атомов донорной примеси, и концентрация электронов увеличивается. На границе 1-го и 2-го участков вся примесь оказывается ионизированной и более не может поставлять электроны. Тепловая генерация постепенно усиливается, но ее вклад в увеличение концентрации электронов и дырок проявляется только вблизи границы 2-го и 3-го участков. Соответственно концентрация электронов (основных носителей заряда) в пределах 2-го участка остается примерно постоянной и значительно превышает концентрацию дырок (неосновных носителей). На 3-ем участке за счет усиления тепловой генерации концентрации электронов и дырок резко возрастают и постепенно выравниваются между собой. Таким образом, как отмечалось в п. 1.3, примесный полупроводник с ростом температуры теряет примесные свойства.

Поскольку для стабильной работы полупроводниковых приборов концентрация носителей заряда в них не должна сильно зависеть от температуры, очевидно, что диапазон рабочих температур полупроводниковых приборов ограничен 2-ым участком рассмотренного графика.

С учетом того, что в примесных полупроводниках помимо подвижных зарядов основных и неосновных носителей имеются неподвижные заряды ионизированных атомов примеси, запишем условия электронейтральности для электронного и дырочного полупроводников

+ N_D N_D,(1.13)

+ N_A N_A.(1.14)