Здесь мы использовали важное в приложениях теории вероятностей правило, по которому события с очень малой вероятностью считаются практически невозможными.

Замечание. Устойчивость относительной частоты представляет собой одну из простейших и в то же время основных закономерностей, проявляющихся в сфере «случайного». В дальнейшем все основные (их всего 3) формулы теории вероятностей (из которых следует все формулы этой теории, включая самые сложные) мы получим исходя из этой закономерности.

Устойчивость частот – это объективное свойство массовых случайных явлений окружающего нас реального мира. Отсутствие устойчивости частот в сериях испытаний свидетельствует о том, что условия, при которых производятся испытания, претерпевают значительные изменения (другими словами мы проводим разные опыты).

Таким образом, теория вероятностей является математической моделью окружающего нас (реального) мира в сфере «случайного».

Замечание. Приведённое выше определение вероятности наилучшим образом соответствует потребностям приложений и отражает объективный характер вероятности. Другими словами, если найденная путем некоторого расчёта (по формулам теории вероятностей) вероятность события А равна числу p, то реальная ценность этого результата состоит прежде всего в возможности такого предсказания: при большом числе опытов относительная частота наступления события А будет близка к p.

Алгебра событий

При нахождении вероятностей приходится учитывать связи между событиями. Наиболее простые из них заключаются в том, что одни события являются комбинациями других. Рассмотрим три вида основных комбинаций: сумма событий, произведение событий, переход к противоположному событию.

Пусть с некоторым опытом связаны события А и В.

1. Сумма событий.Суммой (или объединение) событий А и В назовём событие, обозначаемое А+В (или А В), которое наступает тогда и только тогда, когда наступает или событие А или событие В (или оба вместе).

2. Произведение событий.Произведением (или пересечением) событий А и В назовём событие, обозначаемое AB (или ), которое считается наступившим тогда и только тогда, когда наступают оба события А и В. Другими словами, АВ есть совместное наступление событий А и В.

3. Противоположное событие. Событие назовём событием, противоположным к событию А, если оно наступает тогда и только тогда, когда событие А не наступает.

4. Равенство событий. События А и В считаются равными, если всякий раз, когда наступает одно из них наступает и другое.

Замечание. Чаще всего равные события имеют отличающиеся по форме словесные описания. Например, событие «не все студенты данного курса успешно сдали экзамен по теории вероятностей» и событие «по крайней мере один из студентов данного курса не сдал теорию вероятностей» равны, хотя и выражены различными оборотами речи.

Пример 1. Опыт заключается в бросании игральной кости. При бросании может выпасть число очков, равное какому либо числу из множества чисел {1,2,3,4,5,6}. Рассмотрим в этом случае следующие события:

А = {выпадение чётного числа очков}

В = {выпадение нечётного числа очков}

С = {выпадение числа очков больше трех}

Тогда.

А+В ={выпадение числа очков равное или 1, или 2, ..., или 6}= - достоверное событие

А+С = {выпадение числа очков, равное или 2 или 4 или 5 или 6}

АВ = Ø - невозможное событие

АС = {выпадение числа очков равное или 4 или 6}

= {выпадение нечётного числа очков}= В.

Пример 2. Этот пример важен для наглядного истолкования соотношений между событиями. В некоторую область D на плоскости (например квадрат) случайно бросается точка. В этом случае каждое событие рассматривается как попадание случайно брошенной точки в некоторую область D ₁ области D. Иначе говоря, каждое событие задаётся некоторой фигурой в области D. При таком истолковании событие А+В будет, не что иное, как попадание точки в область, являющуюся объединением фигур А и В (рис.1), событие АВ - попадание в область, являющуюся пересечением фигур А и В, а событие – попадание в область дополнительную к фигуре А (на рис. 1, соответствующие области заштрихованы)

Событие А = {попадание точки в круг А}

Событие В = {точка попадает в треугольник В}

Беря несколько событий А, В, С, D, … и применяя к ним в любом порядке операции сложения, умножения, переход к противоположным событиям, можно строить различные комбинации, например: .

Укажем наиболее важные свойства операций над событиями.

Первые две формулы (формулы де Моргана) являются основными, они связывают сразу все три операции.

1. - дополнение до суммы есть произведение дополнений

2. - дополнение до произведения есть сумма дополнений

3. - коммутативность

4. - ассоциативность

5. - дистрибутивность

6.

7.

Задачи:

1. Показать, что:

2. Электрическая цепь составлена по схеме приведённой на рисунках. События = (элемент с номером к не вышел из строя (другими словами ток через этот элемент проходит). Событие A= (цепь работает). Выразить событие А через события .

3. При условии задачи №2. Событие = (элемент с номером к вышел из строя), событие В = (разрыв цепи). Выразить событие В через события .

События А и В называются несовместными, если они не могут наступить вместе в одном опыте, т.е. если .

Говорят, что события образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и (т.е. при осуществлении опыта хотя бы одно из этих событий наступит).

Другими словами, если события - образуют полную группу событий, то в результате каждого опыта обязательно наступает одно и только одно из событий .