Вывод дифференциального уравнения свободного колебания


На тело, совершающее свободные колебания, действуют две силы:

1. Сила, определяемая по второму закону Ньютона:

где m – масса тела;

а – ускорение;

х – смещение;

t – время.

2. Сила упругости, выраженная по закону Гука:

где k – коэффициент упругости. Знак минус показывает, что сила упругости Fупр всегда направлена в сторону положения равновесия.

На основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих сил) получаем:

.

Перенесем –kx в левую часть равенства, получим:

.

Тогда:

Введем замену: ,

где ω0 – круговая (циклическая) частота колебаний (ω0=2πν)

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно смещения х.

Решением этого уравнения будет:

или (см. рис.1 и рис. 2).

,

где А – амплитуда колебания;

φ0 – начальная фаза;

ω0t+φ0 – фаза колебания в момент времени t;

ω0t= ∆φ – изменение фазы колебания за время t.

 

Выведем уравнения мгновенной скорости и мгновенного ускорения, если колебания совершаются по закону косинуса.

 



Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 1664;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.