Декартовых координатах

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где область — прямоугольник, определяемый неравенствами , .

Предположим, что непрерывна в этом прямоугольнике и принимает в нем неотрицательные значения, тогда данный двойной интеграл равен объему тела с основанием , ограниченного сверху поверхностью , с боков — плоскостями , , , :

.

С другой стороны, объем такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

,

где — площадь сечения данного тела плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной к оси . А так как рассматриваемое сечение является криволинейной трапецией , ограниченной сверху графиком функции , где фиксировано, а , то

.

Из этих трех равенств следует, что

.

Итак, вычисление данного двойного интеграла свелось к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в скобках) считается постоянным.

Замечание. Можно доказать, что последняя формула верна и при , а также в случае, когда функция меняет знак в указанном прямоугольнике.

Правая часть формулы называется повторным интегралом и обозначается так:

.

Аналогично можно показать, что

.

Из выше сказанного следует, что

.

Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Чтобы рассмотреть более общий случай, введем понятие стандартной области. Стандартной ( или правильной ) областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси пересекает границу области не более, чем в двух точках. Другими словами, пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.

Предположим, что ограниченная область является стандартной в направлении оси и ограничена сверху графиком функции , снизу — графиком функции . Пусть R{ , } — минимальный прямоугольник, в котором заключена данная область .

Пусть в области определена и непрерывна функция . Введем новую функцию:

,

тогда в соответствии со свойствами двойного интеграла

.

И, следовательно,

.

Поскольку отрезок целиком принадлежит области то, следовательно, при , а если лежит вне этого отрезка, то .

При фиксированном можем записать:

.

Так как первый и третий интегралы в правой части равны нулю, то

.

Следовательно,

.

Из чего получаем формулу для вычисления двойного интеграла по области, стандартной относительно оси путем сведения к повторному интегралу:

.

Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , аналогично можно доказать, что

.

Замечание. Для области , стандартной в направлении осей и , будут выполнены оба последних равенства, поэтому

По этой формуле осуществляется изменение порядка интегри­рования при вычислении соответствующего двойного интеграла.

Замечание. Если область интегрирования не является стандартной (правильной) в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму стандартных областей и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.

Пример. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями: , , .

Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Данная область является стандартной как относительно оси , так и относительно оси .

Вычислим интеграл, считая область стандартной относительно оси .

.

Замечание. Если вычислить интеграл, считая область стандартной относительно оси , мы получим тот же результат:

.

Пример. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями: , , .

Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Данная область является стандартной относительно оси .

.

Пример. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

Решение. Изобразим на рисунке область интегрирования.

Из пределов интегрирования находим линии, ограничивающие область интегрирования: , , , . Для изменения порядка интегрирования выразим как функции от и найдем точки пересечения:

, , .

Так как на одном из интервалов функция выражена двумя аналитическими выражениями, то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов.

.