Математические идеи прошлого – в современных компьютерах

В первых механических предшественниках современного электронного компьютера числа представлялись либо в виде линейных перемещений цепных механизмов, либо в виде угловых перемещений зубчатых и рычажных механизмов. В механических устройствах зубчатые колеса могут иметь много фиксированных, различных между собой положений. Количество таких положений не меньше числа зубьев шестерни. В электрических и электронных устройствах регистрируются не положения элементов конструкции, а состояния элементов устройства. Таких устойчивых и различимых состояний 2: включен – выключен, заряжен – разряжен и т.п. Поэтому традиционная десятичная система, использованная в механических калькуляторах, неудобна для электронных вычислительных устройств.

Возможность представления любых чисел двоичными цифрами впервые была предложена Лейбницем в 1666 году в связи с исследованием философской концепции единства и борьбы противоположностей. Но поскольку для механических устройств в этом не было необходимости, он не стал использовать принцип двоичной системы в своем калькуляторе (1673 год).

В.Лейбниц Д.Буль *

При появлении принципиальной возможности создания средств вычислительной техники на электронной базе, весьма полезными оказались не только идеи двоичной системы счисления, но и система логической алгебры, созданная английским ученым Джорджем Булем в первой половине XIX века. (Теперь она называется булевой алгеброй). Основное назначение системы состояло в том, чтобы кодировать логические высказывания и структуры логических умозаключений выражениями, близкими по форме математическим формулам. Результатом формального расчета логического выражения является одно из двух логических значений: истина или ложь.

Четыре операции системы: И (пересечение), ИЛИ (объединение), НЕ (инверсия) и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ – лежат в основе работы всех видов современных компьютеров.

* Краткие биографические данные Джорджа Буля.

Джордж Буль английский математик и логик, один из основоположников математической логики. Разработал алгебру логики (булеву алгебру) ("Исследование законов мышления", 1854), основу функционирования цифровых компьютеров.

Джордж Буль родился в бедной рабочей семье. Первые уроки математики получил у отца и, хотя посещал местную школу, в общем, его можно считать самоучкой. В 12 лет он уже знал латынь, затем овладел греческим, французским, немецким и итальянским языками.

В 16 лет уже преподавал в деревенской школе, а в 20 лет открыл собственную школу в Линкольне. Начиная с 1839 года, Буль стал посылать свои работы в новый Кембриджский математический журнал.

В 1847 году он опубликовал статью "Математический анализ логики", в которой высказал идею, что логика более близка к математике, чем к философии. Эта работа была чрезвычайно высоко оценена английским математиком Августом Де Морганом. Благодаря этой работе Буль в 1849 году получил пост профессора математики Куинз-колледжа в графстве Корк, несмотря на то что он даже не имел университетского образования.

В 1854 году он опубликовал работу "Исследование законов мышления, базирующихся на математической логике и теории вероятностей". Работы 1847 и 1854 годов дали рождение алгебре логики, или булевой алгебре. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов – истина или ложь, нуль или единица. Он придумал систему обозначений и правил, пользуясь которыми, можно было закодировать любые высказывания, а затем манипулировать ими как обычными числами. Булева алгебра располагала тремя основными операциями - И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли производить сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение символов и чисел. Таким образом, Булю удалось подробно описать двоичную систему счисления. В своей работе "Законы мышления" (1854) Буль окончательно сформулировал основы математической логики. Он также попытался сформулировать общий метод вероятностей, с помощью которого из заданной системы вероятных событий можно было бы определить вероятность последующего события, логически связанного с ними.

В 1857 году Буль был избран членом Королевского общества. Его работы "Трактат о дифференциальных уравнениях" (1859) и "Трактат о вычислении предельных разностей" (1860) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли своё отражение наиболее важные открытия Буля.