Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
Определение. Последовательность рациональных чисел, сходящаяся к 0, называется нулевой последовательностью.
Следствия из определения:
1. Любая нулевая последовательность рациональных чисел является ф.п.р.ч.
2. Любая подпоследовательность нулевой последовательности является нулевой.
3. Произведение, сумма и разность нулевых последовательностей является нулевой.
4. Множество всех нулевых последовательностей образует подкольцо в кольце всех ф.п.р.ч.
Определение. Последовательность рациональных чисел называется положительной, если .
Определение. Последовательность рациональных чисел называется отрицательной, если будет положительной.
Следствие.Любая подпоследовательность положительной (отрицательной) последовательности будет положительной.
Теорема 3.Сумма и произведение положительных последовательностей рациональных чисел является положительной последовательностью рациональных чисел.
Доказательство.
Пусть и - положительные последовательности рациональных чисел, что влечет
.
Пусть . Тогда . Последовательно складывая и умножая последние неравенства, получим . Поскольку , а - произвольное, большее число, последовательности и положительны.
что и требовалось доказать
Теорема 4. Если фундаментальные последовательности и не являются положительными, тогда фундаментальная последовательность будет нулевой.
Доказательство.
По условию и не являются положительными, следовательно, . Учитывая фундаментальность последовательностей и , можно выбрать настолько большим, чтобы выполнялись неравенства:
Тогда
Выбрав , получим для сколь угодно малого , а это возможно лишь в одном случае, если является нулевой последовательностью рациональных чисел.
что и требовалось доказать
Следствие.Если - ф.п.р.ч., тогда либо положительна, либо положительна, либо - нулевая.
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 115;