Поле действительных чисел.

Теорема 2. - поле.

Доказательство.

Поскольку операции сложения и умножения действительных чисел сводятся к операциям сложения и умножения рациональных, то нетрудно проверяется их ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.

(существование 0) (?)

Покажем, что класс :

(существование 1) (?)

Покажем, что класс :

(существование противоположного) (?)

Проверим, что :

(существование обратного для каждого ненулевого) (?)

Поскольку , - ненулевая ф.п.р.ч., следовательно, либо , либо положительны. Последнее влечет . Таким образом, среди членов последовательности , начиная с номера нет чисел, равных 0. Рассмотрим - подпоследовательность последовательности такую, что . Последовательность не содержит нулевых членов. Зная, что всякая подпоследовательность эквивалентна данной последовательности, имеем . Тогда . Поскольку ненулевая фундаментальная последовательность рациональных чисел и среди ее членов отсутствуют числа, равные 0, является частным фундаментальных последовательностей , а, значит тоже фундаментальна.