Архимедовская расположенность кольца целых чисел.

Теорема 16. Кольцо целых чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): , где , такое, что a<nb.

Доказательство.

Пусть a и b- натуральные числа. Докажем справедливость утверждения методом математической индукции по .

1. База индукции b=1.

.

2. Индуктивное предположение.

Пусть верно для , т.е. .

3. Проверим для , т.е. (?)

Тогда .

Пусть теперь . Возможны случаи:

,

(доказано выше).

что и требовалось доказать.

Теорема 17. Кольцо целых чисел не является всюду плотным.

Доказательство.

Поскольку , а не является всюду плотным, то и также всюду плотным не будет.

что и требовалось доказать.

Лекции 5-6.

Построение множества рациональных чисел.

Рассмотрим множество , на котором введем отношение по следующему правилу:

Теорема 1. Отношение ≈ на множестве есть отношение эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).

Доказательство.

Отношение ~ рефлексивно (?)

.

Отношение ~ симметрично (?)

.

Отношение ~ транзитивно (?)

.

что и требовалось доказать.

Поскольку ≈ - есть отношение эквивалентности на множестве , имеют место классы эквивалентности:

.

Определение. Рациональными числами назовем элементы фактормножества .