Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси, совпадающей с осью 0Z. На тело действует активная сила , которая известна и силы реакции и . Нас интересует, как в этом случае изменяется со временем угол ?

Запишем теорему о движении центра масс и теорему об изменении кинетического момента АТТ:

;

.

Момент силы равен нулю.

– момент активной силы.

Система координат XYZ – неподвижна.

Во втором уравнении: . или

; То есть ; ; .

.

Учитывая это запишем выражение для проекции вектора :

, , .

В формулах величины и называют центробежными моментами инерции вращающегося твердого тела; – главный момент инерции твёрдого тела относительно оси 0Z.

Запишем начальные уравнения в проекциях:

Т.к. твёрдое тело не может вращаться относительно осей 0X и 0Y, первые два уравнения системы выражают условия равновесия твёрдого тела относительно этих осей и могут служить для нахождения неизвестных сил реакции .

Моменты неизвестных сил реакции и относительно оси Z равны. Третье уравнение системы можно записать так: ; ; – основное уравнение динамики вращательного движения.

Решением этого дифференциального уравнения второго порядка относительно координаты φ твёрдого тела является кинематический закон движения твёрдого тела. Следовательно, это уравнение в динамике вращательного движения твёрдого тела имеет такое же значение, как и второй закон Ньютона в динамике материальной точки или теорема о движении центра масс в режиме поступательного движения.