Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме.
Пусть частица движется вдоль оси X. При этом движение ограничено отрезком (0,l). В точках x=0 и x=l установлены непроницаемые бесконечно высокие стенки. Потенциальная энергия в этом случае имеет вид
Такая зависимость потенциальной энергии от x получила название потенциальной ямы.
Запишем стационарное уравнение Шредингера
Поскольку пси-функция зависит только от координаты x, то уравнение упрощается следующим образом
Внутри потенциальной ямы U=0
За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Соответственно и пси-функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е. . Это граничное условие, которому должны удовлетворять решения уравнения.
Введем обозначение
и получим уравнение, хорошо известное из теории колебаний
Решение такого уравнения имеет вид гармонической функции
Выбор соответствующих параметров k и α определяется граничными условиями, а именно,
n = 0 отпадает, т.к. в этом случае ψ = 0 и частица нигде не находится. Следовательно, число k принимает лишь определенные дискретные значения, удовлетворяющие условию . Отсюда следует очень важный результат. Найдем собственные значения энергии частиц
,
т.е. энергия электрона в потенциальной яме не произвольна, а принимает дискретные значения, т.е. является квантованной. Величина Еn зависит от целого числа n, которое принимает значение от 1 до ∞ и носит название главного квантового числа. Квантованные значения энергии называются энергетическими уровнями,а квантовое число n определяет номер энергетического уровня. Таким образом, электрон в потенциальной яме может находиться на определенном энергетическом уровне En. Причем минимальное значение энергии, соответствующее первому энергетическому уровню, отлично от нуля
.
Определим расстояние между соседними энергетическими уровнями
При больших m и l расстояние между уровнями становится мало, и спектр становится квазинепрерывным. Относительное расстояние между уровнями
при n → ∞ ,
т. е. спектр становится непрерывен. В этом заключается принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.
Вернемся к задаче определения собственных функций. После применения граничных условий имеем
Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки
Значение интеграла равно l /2.
Таким образом, собственные функции имеют вид
Графики собственных функций имеют вид
Окончательно сформулируем основные выводы:
1. Энергетический спектр частицы в потенциальной яме дискретный – энергия квантуется.
2. Минимальное значение кинетической энергии не может быть равно нулю.
3. Дискретный характер энергетических уровней проявляется при малых m, l и n , при больших m, l,n движение становится классическим.
4. Положения микрочастицы в яме не равновероятны, а определяются собственными функциями, в то время как в случае классической частицы все положения равновероятны.
Вопросы для самоконтроля:
1. Как определить вероятность нахождения частицы в некоторой точке?
2. Что называется потенциальной ямой?
3. Каково значение уравнения Шредингера? Что позволяет найти уравнение Шредингера?
4. Какие условия накладываются на пси-функцию?
5. Каков физический смысл главного квантового числа?
6. Почему квантовая механика является статистической теорией?
7. В чем состоит принцип соответствия Бора?
Лекция 6.
Дата добавления: 2020-12-11; просмотров: 312;