Устойчивость плоской формы изгиба пластины.




 

Рассмотрим теперь схему нагружения не стержня, а достаточно длиной пластины, узкой прямоугольной полосы, изображенной на Рис.12.1.

Такая схема означает, что пластина под нагрузкой не движется по направлению нагрузки. Следовательно, эта пластина закреплена по вертикали некоторым образом, как стержень. Но она способна изгибаться из её плоскости – шарнирно, как консоль или иначе. Шарниры на вертикальных краях и означают способность пластины изгибаться из её плоскости . А это уже задача упругой устойчивости.

Гораздо более подробно устойчивость полосы произвольного профиля, при произвольной конфигурации поперечного сечения, называемой обычно открытым «тонкостенным стержнем», описана в работах академика Власова В.З., Вольмира А.С. и других книгах. Вам же полезно ознакомиться с этим явлением по учебному пособию [6].

Мы же наиболее коротко опишем здесь эту картину самым примитивным образом, исходя из теории изгиба плоского тонкостенного стержней. Сначала опишем её докритическое состояние, считая пластину стержнем.

Здесь применима теория изгиба стержней, основанная на гипотезе плоских сечений, учитывающая не только изгиб пластины в ее плоскости, но и ее сдвиг

(12.1)

Изгиб описывается известными соотношениями изгиба балки

, , , .

А ее сдвиг - формулами

, ,

Таким образом, уравнение изгиба со сдвигом

. (12.2)

 

 

 

 

Закритическое состояние полосы представлено на Рис.12.2.

Вектор изгибающего момента проектируется на плоскость изогнутой пластины, вызывая ее кручение моментом

(12.3)

и изгиб моментом

(12.4)

Обозначим изгибную жесткость из плоскости изогнутой пластины , а в ее плоскости , где момент инерции Здесь - толщина стенки профиля.

Тогда имеем два уравнения: изгиба и кручения

Если жесткости пластины по длине постоянны, то постоянны и коэффициенты, и мы сводим систему уравнений к одному. Имеем

(12.5)

Эти зависимости позволяют искать либо прогиб либо угол сдвига

В одном варианте

(12.6)

в другом

. (12.7)

Это уравнения устойчивости плоской формы изгиба длинной полосы. Их решения должны удовлетворять однородным граничным условиям на концах стержней

для первого варианта

либо ( )

либо ( )

для второго варианта

либо ( )

При переменных коэффициентах для построения приближенных решений вариационными методами используются выражения приращения энергии за счет изгиба с кручением

Полная энергия балки - это функционал

(12.8)

Её приращение ( формула даются без вывода )

(12.9)

Выражения (9) при поиске решения в форме ряда, например,

, ,

 

путем прямой минимизации функционала по методу Ритца приводит к системе

, , (12.10)

где коэффициенты определяются по формулам

. (12.11)

Эти же выражения дает и обобщенный метод Бубнова-Галеркина. Если подчинить все не только геометрическим, но всем граничным условиям задачи, то выражения для коэффициентов могут быть записаны иначе

Если стержень представляет собой не полосу, а двутавровую балку, то выражения для коэффициентов

,

где - изгибная жесткость полки в своей плоскости, - толщина стенки.

Пример 1.

Граничные условия

Решение ищем в форме ряда

, ,

Тогда для уравнения (8) получаем

Пример 2.

 

Граничные условия

Решение в форме ряда

, , (12.12)

удовлетворяет граничным условиям, но не дает точного решения уравнения

.

Причина этого проста. Изгибающий момент в сечениях балки

не является постоянным и порождает переменный коэффициент . Точное решение может быть получено только в функциях Бесселя, и дает

.

Приближенное же решение может быть получено на основе представления (12). Оно приводит к системе (10) с коэффициентами

Ограничившись одним членом ряда, имеем

,

что на 8,2% больше точного значения.

Второе приближение дает

на 0,3% больше точного.

При степенной аппроксимации для этой задачи

,

подчиняя ряд условию

,

имеем

и в результате , что больше точного.






Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1739; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.042 сек.