Основные законы аэродинамики

Уравнение неразрывности.

Уравнение неразрывности струи воздушного потока (постоянства расхода ) - это уравнение аэродинамики, вытекающее из основных законов физики - сохранения массы и инерции. Устанавливает связь между плотностью, скоростью и площадью поперечного сечения струи воздушного потока.

Рис. 2.5 Пояснение к закону неразрывности струи воздушного потока

Уравнение сформулировано Л. Эйлером в 1756г. применительно к движению струйки жидкости.

В струйке переменного сечения через сечение I за одну секунду протекает некоторый объем воздуха (рис.2.5). Этот объем равен произведению скорости воздушного потока V на площадь поперечного сечения F.

Секундный массовый расход воздуха в струйке m_c равен произведению секундного объема на плотность ρ воздушного потока.

Согласно закону сохранения материи масса жидкости (воздуха) в струйке m₁, протекающей через сечение I, должна быть равна массе m₁, протекающей через сечение II, при условии, если движение воздушного потока установившееся:

m₁=m₂=cons, ρ₁ F₁V₁₌ ρ₂ F₂V₂=const.

Для любого сечения струйки можно записать:

ρFV=const.

Это выражение называется уравнением неразрывности (постоянства расхода) для струйки воздушного потока.

При малых скоростях движения воздух ведет себя как несжимаемая жидкость. Поэтому плотность воздуха в любом сечении струйки одинакова r₁=r₂=const.

Для несжимаемой жидкости уравнение можно записать в следующем виде: F₁V₁=F₂V₂= const или в виде пропорции:

Из формулы видно, что для любого сечения скорость воздушного потока струи обратно пропорциональна площади ее поперечного сечения и наоборот:

V=

Вывод: Уравнение неразрывности устанавливает взаимосвязь между сечением струи и скоростью при условии, что воздушный поток струи установившийся.

Задача. Определить скорость течения потока жидкости V₂ в узком сечении трубки площадью S₂=5см²,если через широкое сечение трубки площадью S₁=7,5см² скорость течения составляет V₁=20м/с.

Решение: V₂/V₁=S₁/S₂. V₂=V₁S₁/S₂=20*7,5/5=30м/с.

Закон Бернулли.

Основные явления, происходящие при течении газа и жидкости, можно объяснить, применяя к движущейся среде закон сохранения энергии.

Выделим струйку в потоке несжимаемого газа и проведем в ней два поперечных сечения 1 и 2 (см. рис.2.5). Этими поперечными сечениями определится объем газа, к которому мы применим закон сохранения энергии. При этом будем считать, что движение газа установившееся.

Пусть за единицу времени через сечение 1 проходит масса газа m_1. В этом месте струйки газ имеет скорость V₁, а давление p₁. За то же время через другое сечение 2 струйки , где скорость газа равна V₂, а давление p₂, вытекает такая же масса газа m₂.

При установившемся течении в выделенной части струйки не происходит ни накапливания, ни расхода энергии, т.к. между струйкой и окружающей её средой обмен энергией отсутствует.

Следовательно, энергия, передаваемая газу за единицу времени через сечение 1, должна быть равна энергии, передаваемой за то же время через сечение 2.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия струйки воздушного потока в различных сечениях есть сумма нескольких видов энергии потока: кинетической, потенциальной энергии сил статического давления, внутренней энергии и энергии положения. Эта сумма должна быть величиной постоянной:

Е_кин+Е_р+Е_вн+Е_п=сопst .

Кинетическая энергия Е_кин - способность движущегося воздушного потока совершать работу под действием сил динамического давления;

Потенциальная энергия Е_р - способность воздушного потока совершать работу под действием сил статического давления;

Внутренняя энергия Е_вн - это способность газа совершать работу при изменении его температуры;

Энергия положения Eп - способность воздуха совершать работу при изменении положения центра тяжести данной массы воздуха при подъеме на определенную высоту.

Таким образом, газ, находящийся позади сечений 1 и 2, производит работу по продвижению впереди лежащей массы газа. Эта работа производится силами давлений статического и динамического (скоростного напора).

При движении несжимаемого идеального газа сумма статического и динамического давлений остается величиной постоянной. Эта сумма называется полным напором.

Рассмотрим течение жидкости (газа) через трубу переменного диаметра (Рис.2.6). Анализируя показания манометров, можно сделать заключение, что наименьшее давление показывает манометр сечения 3-3.

Рис. 2.6 Объяснение закона Бернулли

Причиной падения давления является то, что воздушный поток не производит никакой работы, поэтому полная энергия воздушного потока остается постоянной. Если считать температуру, плотность и объем воздушного потока в различных сечениях постоянными, то внутреннюю энергию можно не рассматривать.

Значит, возможен переход кинетической энергии воздушного потока в потенциальную и наоборот.

Когда скорость воздушного потока увеличивается, то увеличивается скоростной напор и кинетическая энергия данного воздушного потока. Статическое давление при этом уменьшается.

Преобразуем уравнение сохранения полной энергии: для сечений 1,2,3:

где: P- статическое давление; - скоростной напор.

Для любого сечения струйки воздуха уравнение можно записать в следующем виде:

В таком виде записывается уравнение Бернулли.

Оно показывает, что сумма статического и динамического давлений для любого сечения струйки установившегося несжимаемого воздушного потока есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли широко применяется в практических условиях. Этот закон используется при конструировании приборов для измерения скорости движения жидкости и газов, различного рода инжекторов, водоструйных насосов, карбюраторов, при изучении причины образования подъемной силы крыла.

Принцип работы указателя скорости летательного аппарата показан на рис.2.7.

Рис. 2.7 Измерение скорости воздушного потока

Вывод: Законы аэродинамики являются теоретической основой для изучения процессов обтекания крыла и летательного аппарата, способов расчета аэродинамических сил.

Аэродинамический эксперимент. Для подтверждения теоретических расчетов выполняются практические исследования в специальных аэродинамических лабораториях.

Аэродинамическиеэксперименты проводятся в аэродинамических трубах – установках, в которых можно создать искусственный регулируемый поток воздуха или газа. Аэродинамические исследования проводятся в аэродинамических трубах малых скоростей, трубах больших дозвуковых скоростей, трубах сверхзвуковых скоростей, трубах специального назначения (штопорных, дымовых) и т.д.

Первая аэродинамическая труба в России была построена основоположником современной ракетной техники К.Э. Циолковским в 1887 г. в г. Калуге.

Простейшая схема аэродинамической трубы прямого действия показана на рис.2.8. Труба состоит из коллектора (суживающегося сопла), рабочей части, диффузора и вентилятора.