Лекция 3. Оболочечная модель ядра

Одним из основных свойств квантового мира является неразрывная связь между частицами и волнами: частице любого сорта соответствует волна, называемая волной де Бройля. Наоборот, каждой волне соответствует частица или группа частиц. Физическими величинами, характеризующими волну, являются ее частота ω и длина волны .[24] Чтобы указать не только длину, но направление распространения волны, вводят волновой вектор k, ориентированный вдоль направления распространения и по абсолютной величине равный .

Физическими величинами, характеризующими частицу, являются ее энергия и импульс. В квантовой теории энергия и импульс связаны с частотой и волновым вектором следующими соотношениями:

, (3.1)

. (3.2)

Эти соотношения выражают дуализм волн и частиц в квантовом мире, совершенно необъяснимый с позиций классической физики. Действительно, частица локализована в точке, а волна, наоборот, занимает все доступное ей пространство. Для понимания этого парадокса приходится смириться с тем, что в микромире фраза «частица с импульсом p находится в точке r» просто не имеет смысла. Иными словами, в квантовой механике не существует понятия траектории частицы. Это обстоятельство составляет содержание принципа неопределенности – одного из основных постулатов квантовой механики, сформулированного В. Гейзенбергом. Координата и скорость частицы являются в квантовой механике величинами, которые не могут быть одновременно точно измерены. Невозможно определить точно и энергию частицы в строго определенный момент времени.

Степень неточности измерения координаты Δx и проекции импульса Δp_x определяется известным соотношением неопределенностей Гейзенберга:

. (3.3)

Аналогично соотношение для неопределенностей времени Δt и энергии ΔE:

. (3.4)

Из соотношения неопределенностей (3.3) вытекает связь между малыми расстояниями и большими энергиями: чем меньшие расстояния надо исследовать, тем больше должен быть импульс, а, следовательно, и энергия частиц, с помощью которых проводится исследование. Поэтому физика сверхмалых расстояний – это физика сверхвысоких энергий. Подобно тому, как в микроскопе можно наблюдать расстояния, не меньшие длины волны света, так и пучком частиц можно «прощупывать» детали структуры на расстояниях, не меньше длины волны де Бройля этих частиц.

В классической механике состояние частицы в определенный момент времени полностью описывается заданием шести чисел: трех координат x, y и z и трех соответствующих проекций импульса p_x, p_y и p_z. Вместо этого в квантовой теории состояние частицы полностью описывается заданием функции трех переменных ψ(x, y, z) во всем пространстве, т.е. трехмерным континуумом чисел. Функция ψ(x, y, z) ≡ ψ(r) называется волновой функцией.

В классической механике уравнения движения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. С их помощью по заданным значениям координат и скоростей (или импульсов) в начальный момент времени можно определить эти же величины в любой другой момент времени t. В квантовой механике уравнение движения должно, очевидно, сводиться к описанию временной эволюции волновой функции ψ(r). Это волновое уравнение называется уравнением Шредингера и имеет вид

, (3.5)

где Δ – дифференциальный оператор Лапласа

. (3.6)

Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния: состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры (в частности, энергия Е) не меняются с течением времени. Для них уравнение Шредингера (3.5) преобразуется к следующему виду:

. (3.7)

Уравнение (3.7) носит название стационарного уравнения Шредингера. Решения этого уравнения существуют, вообще говоря, не при любых значениях Е, а только при некоторых. Они называются собственными значениями энергии. Соответствующие им функции ψ называются собственными функциями. Собственные значения энергии могут быть дискретными, а могут непрерывно заполнять конечный или бесконечный интервал (в первом случае говорят, что энергетический спектр системы дискретный, а во втором – непрерывный). Пример решения стационарного уравнения Шредингера для простейшего случая движения частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме приведен в ПРИЛОЖЕНИИ Б.

В тех случаях, когда потенциальную энергию можно представить в виде суммы, каждое слагаемое в которой зависит только от одной координаты, стационарное уравнение Шредингера можно разбить на несколько уравнений, по числу слагаемых в сумме. Например, если для двумерного движения справедливо

,

то решать пару уравнений

,

можно независимо. Собственная функция ψ в этом случае будет произведением

,

а собственное значение энергии суммой

.

Этот принцип решения при возможности разделения переменных остается справедливым для любого числа независимых координат, а также их комбинаций.

Практически важна в квантовой механике задача о стационарном движении частицы в потенциальном поле U(r), зависящем только от длины радиус-вектора r и не зависящем от углов θ и φ (т.н. центральное поле). В этом случае разделение переменных в (3.7) позволяет найти универсальные собственные функции ψ(θ, φ), которые определяются лишь значениями момента импульса частицы

(3.8)

и проекции вектора L на выбранную ось L_z. При этом

(3.9)

. (3.10)

Числа l и m_l называются орбитальным и магнитным квантовыми числами. Так как момент импульса изолированной системы, подобно энергии и импульсу, является интегралом движения, т.е. сохраняющейся величиной, практическое значение имеет также правило суммирования моментов отдельных подсистем:

. (3.11)

Инвариантность (неизменность) свойств квантовомеханической системы при операции инверсии (когда каждый радиус-вектор rменяется на –r) приводит к еще одному квантовому числу – четности (P). Система является четной (P = +1) или нечетной (P = –1) в зависимости от того, сохранится или изменится знак волновой функции системы при смене знаков всех пространственных координат. Четность изолированной системы, как и энергия, импульс и момент импульса, сохраняется.[25]

Правила нахождения четности при возникновении новой системы просты. Если две четные или две нечетные частицы образуют систему, то она будет четной. Если одна из частиц находится в четном, а другая в нечетном состоянии, система будет нечетной. Таким образом, величина Р мультипликативна.

При движении частицы в центральном поле ее волновые функции с четным орбитальным числом l четны, с нечетным – нечетны. В результате

, (3.12)

где π₁ и π₂ – т.н. внутренние четности частиц. Внутренние четности имеют смысл лишь будучи определенными относительно какой-либо частицы. Для протона принята π_p = +1. Четности всех других частиц определяют относительно протона на основании закона сохранения четности. Так, внутренняя четность электрона π_e = +1, нейтрона π_n = +1, а фотона π_γ = –1.

Согласно релятивистской квантовой теории частица обладает собственным моментом импульса S – спином (последний никак не связан с ее орбитальным движением). Величина спина

(3.13)

характеризуется числом s, принимающим, в отличие от орбитального квантового числа, не только целые (0, 1, 2…), но и полуцелые (1/2, 3/2, 5/2 …) значения. Часто именно это число s и называют спином частицы.

Частицы с целым спином называют бозонами, с полуцелым – фермионами. Электрон, протон и нейтрон (s = ½) принадлежат к группе фермионов. Фотон (s = 1) является бозоном. Все фермионы подчиняются принципу Паули, согласно которому в любом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона данного вида. Для бозонов подобного ограничения не существует.

Волновая функция системы одинаковых фермионов антисимметрична по отношению к перестановке координат любых двух частиц (т.е. меняет свой знак при такой операции). Волновая функция системы одинаковых бозонов симметрична относительно такой перестановки.

3.2. Предпосылки оболочечной модели ядра.Существует ряд физических величин, которые никак не затрагивает или плохо описывает капельная модель. К ним относятся, прежде всего, такие индивидуальные характеристики ядер, как спин и связанный с ним магнитный момент, четность, энергии возбуждения и др. Этим величинам свойственно периодическое изменение. В предыдущей лекции уже говорилось об эффекте спаривания нуклонов и влиянии его на энергию связи. Оказывается, что все четно-четные ядра в основном состоянии имеют нулевые спины и магнитные моменты.

Кроме того, как показывает опыт, ядра с числом протонов или нейтронов, равным 2, 8, 20, 50, 82 или 126,[26] особенно устойчивы и гораздо больше распространены в природе, чем их ближайшие соседи по N-Z-диаграмме. Вышеперечисленные числа получили название магических, а соответствующие ядра – магических ядер (В. Эльзассер, 1934 г.). Ядра, в которых магическим является и Z, и N, называют дважды магическими (⁴He, ¹⁶O, ⁴⁰Ca, ²⁰⁸Pb).

Отмеченная периодичность в изменении свойств атомных ядер напоминает периодическое изменение свойств атомов в зависимости от числа электронов. Подобно магическим ядрам, оболочки атомов, содержащие 2, 10, 18, 36, 54 или 86 электронов (инертные газы) являются особо устойчивыми.

Как известно, модель электронных оболочек базируется на двух основных положениях: 1) в атоме имеется центральное поле кулоновского притяжения электронов к ядру; 2) электроны проводят большую часть своего времени вдали друг от друга. Ни одно из этих двух условий для ядра не выполняется. У ядра нет выделенного силового центра. Нуклоны в ядре «упакованы» настолько плотно, что должны часто сталкиваться и обмениваться энергией. В результате средняя длина свободного пробега нуклона должна быть намного меньше радиуса ядра. Поэтому, на первый взгляд, орбитальное движение нуклонов с долго сохраняющимися квантовыми числами невозможно.

Тем не менее, ядерная задача допускает такую переформулировку, когда усреднение отдельных межнуклонных потенциалов внутри ядра сводится к формированию одинакового самосогласованного поля для всех нуклонов (рис. 3.1). При этом движение каждого нуклона в самосогласованном поле можно считать независимым. Последнее обстоятельство обеспечивается принципом Паули. А именно, при взаимодействии двух нуклонов с изменением энергии один из них должен занять более высокое, а другой – более низкое состояние. Но все нижние состояния в ядре уже заполнены, и, согласно принципу Паули, на них не может появиться еще один фермион. В итоге нуклоны движутся так, как будто столкновений между ними просто нет (нет обмена энергией), и длина свободного пробега значительно превосходит характерные размеры ядра. Отсюда возникает и условие для существования устойчивых нуклонных орбиталей.

3.3. Уровни энергии нуклона в центральном поле. Оболочечная модель была впервые сформулирована в 1949 г. (М. Гёпперт-Майер и др.). В отличие от капельной модели, являющейся коллективной, в оболочечной модели рассматривается движение каждого нуклона в отдельности, т.е. последняя является одночастичной. Движение нуклона в самосогласованном поле U_ССП описывается стационарным уравнением Шредингера

. (3.14)

Потенциал самосогласованного поля подбирается эмпирически. Он должен иметь вид сферически симметричной ямы, а из-за малости радиуса действия ядерных сил должен меняться с расстоянием аналогично тому, как меняется плотность ядерной материи. В связи с этим наиболее близким к реальному потенциалу для нейтронов оказывается потенциал Вудса-Саксона:

, (3.15)

где U₀ – глубина потенциальной ямы (около 50 МэВ), R – радиус ядра, определяемый формулой (2.3), а – размер области, в которой происходит наиболее сильное изменение U_ССП (0,6-0,7 фм). Для протонов к потенциалу (3.15) необходимо добавить самосогласованный кулоновский потенциал. Его выбирают в виде энергии взаимодействия точечного элементарного заряда и равномерно заряженного шара с радиусом R и зарядом (Z–1)е.

Решение уравнения Шредингера с потенциалом Вудса-Саксона (3.15) возможно лишь с использованием численных методов. Однако для построения модели ядерных оболочек представляет, прежде всего, интерес задача о движении частицы в центральном поле произвольного вида. В связи с этим рассмотрим поле с потенциальной энергией

, (3.16)

которое называют сферической осцилляторной ямой. Частицу в таком поле можно рассматривать как трехмерный гармонический осциллятор с частотой колебаний ω (см. ПРИЛОЖЕНИЕ В). В этом случае переменные в уравнении Шредингера разделяются, и задача сводится к трем независимым линейным осцилляторам. В результате энергия частицы принимает значения

, (3.17)

т.е. (в единицах ħω) 3/2, 5/2, 7/2 и т.д. В отличие от линейного осциллятора, эквидистантные уровни теперь вырожденны: одной и той же энергии Е соответствует g(Е) различных комбинаций квантовых чисел (табл. 3.1).

При переходе из декартовой системы координат в сферическую имеем для волновых функций:

. (3.18)

Из теории строения атома известно, что в этом случае решение уравнения Шредингера предполагает зависимость энергии также от трех квантовых чисел, называемых радиальным (n), орбитальным (l) и магнитным (m_l). Два последних определяют момент импульса частицыL (3.9) и его проекцию L на ось z (3.10).

Таблица 3.1.

Уровни энергии трехмерного гармонического осциллятора

* Без учета перестановок

Так как в центральном поле нет выделенных направлений, каждое состояние с заданными n и l (2l + 1)-кратно вырождено по m_l. Значения l в квантовой физике принято записывать символически, в виде букв латинского алфавита:

l 0 1 2 3 4 5 6 7

символs p d f g h I j