Кинематика поступательного и вращательного движений материальной точки
Механическим движением тел называют изменение их положения (или положения их частей) в пространстве с течением времени. В основе классической механики лежат законы Ньютона.
Кинематика изучает механическое движение с геометрической точки зрения и не рассматривает причины, вызывающие это движение. В механике рассматривается движение таких объектов, как материальная точка и абсолютно твердое тело.
Материальной точкой называется тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.
Абсолютно твёрдым телом называется тело, деформацией которого в данных условиях можно пренебречь. Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.
1.1. Кинематические характеристики движения материальной точки
Описать движение материальной точки – значит знать ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Системойотсчёта называется система координат, связанная с телом отсчёта и снабжённая синхронизированными часами. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат (рис. 1).
| Положение материальной точки характеризуется радиусом-вектором , проведённым из начала координат в данную точку (рис. 1). Проекции радиуса-вектора на координатные оси соответствуют координатам точки в выбранной системе координат (рис. 1): . Движение материальной точки задано, если известна зависимость координат точки от времени, т.е. |
или .
Данные уравнения являются кинематическими уравнениями движения материальной точки, или законом движения точки. В процессе движения конец радиуса-вектора, связанный с точкой, описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения материальной точки. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения.
Перемещением материальной точки называют вектор, проведённый из начальной точки в конечную точку траектории (рис. 1):
.
Вектор может быть выражен через приращения координат и орты соответствующих осей (единичные векторы, направленные по осям):
.
Модуль вектора перемещения можно определить следующим образом:
.
Путь материальной точки S12 - это длина траектории.
Скорость - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве, равная перемещению тела за единицу времени. Различают среднюю и мгновенную скорости.
- средняя скорость;
- мгновенная скорость;
- среднее значение модуля скорости.
Вектор средней скорости направлен так же, как и вектор перемещения . Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения так же, как вектор элементарного перемещения: . Так как , где dS - элементарный путь, то модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени:
.
В декартовой системе координат скорость можно представить через её проекции на оси:
Модуль скорости может быть найден по следующей формуле:
.
При рассмотрении движения тела относительно двух различных инерциальных систем отсчета используют классический закон сложения скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы и скорости самой движущейся системы относительно неподвижной :
.
Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени, равная приращению скорости за единицу времени. Различают среднее и мгновенное ускорения.
- среднее ускорение,
- мгновенное ускорение.
Вектор ускорения может быть представлен через его проекции на координатные оси:
,
где , , .
Модуль ускорения можно определить следующим образом:
.
1.2. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения
Часто используется представление ускорения через две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорения (рис. 2):
Рис. 2 | ; . |
Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:
,
где - производная модуля скорости, - единичный вектор касательной, совпадающий по направлению со скоростью.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и направлено по радиусу кривизны к центру кривизны траектории в данной точке:
,
где R - радиус кривизны траектории, - единичный вектор нормали.
Модуль вектора ускорения может быть найден по формуле
.
1.3. Основная задача кинематики
Основная задача кинематики заключается в нахождении закона движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:
; ; ; ;
.
Частные случаи прямолинейного движения:
1) равномерное прямолинейное движение: ;
2) равнопеременное прямолинейное движение: .
Дата добавления: 2019-05-21; просмотров: 450;