Двоичная, десятичная и шестнадцатеричная системы
Системы счисления
Система счисления – это соглашение о представлении чисел посредством конечной совокупности символов (цифр)
A = {a0, a1, …, an-1}, называемой алфавитом. Каждой цифре ставится в соответствие определенный количественный эквивалент.
Системы счисления разделяют на позиционные и непозиционные. Рассмотрим эти системы счисления.
Непозиционная система счисления – это система, в которой цифры не меняют своего количественного эквивалента в зависимости от местоположения (позиции) в записи числа.
К непозиционным системам счисления относится система римских цифр, основанная на употреблении латинских букв для десятичных разрядов I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500.
Рассмотрим запись единиц. Числа 1 и 5 представляются соответственно цифрами I и V. Чтобы представить числа 2 или 3 необходимо записать соответствующее число единиц: II или III. Для представления чисел 4 или 9 к цифре V (пять) или X (десять) слева дописывается единица I: IV или IX. Для представления чисел 6, 7, 8 к цифре V справа подписываются соответствующее число единиц: VI, VII, VIII. Аналогично записываются десятки, сотни и тысячи.
Число в системе римских чисел записывается по схеме «тысячи-сотни-десятки-единицы».
Непозиционные системы счисления обладают следующими недостатками:
- сложность представления больших чисел (больше 10000);
- сложность выполнения арифметических операций над числами, записанными с помощью этих систем счисления.
Из-за перечисленных недостатков числа принято записывать с помощью позиционных систем счисления.
Позиционная система счисления – это система, в которой количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в числе. Примером позиционной системы счисления является используемая нами десятичная система счисления.
Основание позиционной системы счисления – это количество символов в ее алфавите. Например, в десятичной системе счисления десять цифр, поэтому она имеет основание n = 10. Позиционная система счисления с основанием n называется n-ичной.
Далее рассматриваются только позиционные системы счисления, поэтому слово «позиционная» опускается.
Двоичная, десятичная и шестнадцатеричная системы
Значение числа, представленного конечной дробью, в n-ичной системе счисления
amam–1…a1a0,a–1a–2…a–k,
где «,» – разделитель целой и дробной частей; ai, i = –k, m; или с явным указанием основания системы счисления
(amam–1…a1a0,a–1a–2…a–k)n,
определяется по формуле
amnm + am–1nm–1 + … + a1n1 + a0n0 +
+ a–1n–1 + a–2n–2 + … + a–kn–k =
В информатике и вычислительной технике широко используются следующие системы счисления:
- двоичная n = 2; используемый алфавит: A = {0, 1}; например, 01110002;
- десятичная n = 10; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; например, 10210; в дальнейшем числа без указания основания системы счисления будем считать десятичными;
- шестнадцатеричная n = 16; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; цифры A, B, C, D, E, F имеют десятичные количественные эквиваленты 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно; например, AB034D16.
Представление цифр в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления представлено в таблице.
Десятичная | Двоичная | Шестнадцатеричная |
A | ||
B | ||
C | ||
D | ||
E | ||
F |
В вычислительной технике используется двоичная система счисления, то есть все числа и данные представляются в виде последовательности нулей и единиц (бит). Двоичная система счисления обладает следующими преимуществами перед системами счисления с другими основаниями:
- для реализации двоичных цифр необходимы технические устройства с двумя устойчивыми состояниями: «ток есть» – «ток отсутствует», «намагничено» – «не намагничено» и т. п., а не с десятью – как в десятичной системе счисления;
- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
- для выполнения арифметических операций используется простой аппарат алгебры высказываний (булевой алгебры).
В вычислительной технике процессы ввода, вывода и обработки числовых данных связаны с преобразованием чисел из одной системы счисления в другую. Поэтому рассмотрим правила перевода чисел одной системы счисления в систему счисления с другим основанием.
Перевод целого или дробного числа из n-й системы счисления в десятичную - число из n-й системы счисления в десятичную переводится с использованием формализованного представления числа.
Дата добавления: 2016-05-31; просмотров: 1486;