Логические операции

Основные логические операции над высказываниями, используемыми в ЭВМ, включают отрицание, конъюнкцию, дизъюнкции, стрелку Пирса и штрих Шеффера. Рассмотрим эти логические операции.

1. Отрицание (обозначается также ØX, ~X).

Отрицание (NOT, читается «не X») – это высказывание, которое истинно, если X ложно, и ложно, если X истинно.

2. Конъюнкция XY (X&Y, XÙY).

Конъюнкция XY (AND, логическое умножение, «X и Y») – это высказывание, которое истинно только в том случае, если X истинно и Y истинно.

3. Дизъюнкция X+Y (XÚY).

Дизъюнкция X+Y (OR, логическая сумма, «X или Y или оба») – это высказывание, которое ложно только в том случае, если X ложно и Y ложно.

4. Стрелка Пирса X ¯ Y.

Стрелка Пирса X ¯ Y (NOR (NOT OR), ИЛИ-НЕ) – это высказывание, которое истинно только в том случае, если X ложно и Y ложно.

5. Штрих Шеффера X | Y.

Штрих Шеффера X | Y (NAND (NOT AND), И-НЕ) – это высказывание, которое ложно только в том случае, если X истинно и Y истинно.

Определить значения логических операций при различных сочетаниях аргументов можно из таблицы истинности.

Таблица истинности для основных логических операций, используемых в ЭВМ

X	Y		XY	X + Y	X ¯ Y	X | Y

Чтобы определить значение операции 0 + 1 в таблице истинности, необходимо на пересечении столбца X + Y (определяет операцию) и строки, где X = 0 и Y = 1 (так первый аргумент равен 0, а второй – 1), найти значение 1, которое и будет являться значением операции 0 + 1.

В алгебре высказываний существуют две нормальные формы: конъюнктивная нормальная форма (КНФ) и дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).

КНФ – это конъюнкция конечного числа дизъюнкций нескольких переменных или их отрицаний (произведение сумм). Например, формула X(Y + Z) находится в КНФ.

ДНФ – это дизъюнкция конечного числа конъюнкций нескольких переменных или их отрицаний (сумма произведений). Например, формула X + YZ находится в ДНФ.

Логические операции обладают свойствами, сформулированными в виде равносильных формул.

Снятие двойного отрицания (отрицание отрицания): =X. (6.1) Коммутативность: XY=YX. (6.2) X+Y=Y+X. (6.3) Ассоциативность: (XY)Z=X(YZ). (6.4) (X+Y)+Z=X+(Y+Z). (6.5) Дистрибутивность: X(Y+Z)=XY+XZ. (6.6) X+YZ=(X+Y)(X+Z). (6.7) Законы де Моргана: . (6.8) . (6.9) Идемпотентность: X+X=X. (6.10) X×X=X. (6.11) Закон противоречия: X× =0. (6.12)

Закон «исключения третьего»: X+ =1. (6.13) Свойства констант: X×1=X. (6.14) X×0=0. (6.15) X+1=1. (6.16) X+0=X. (6.17) Элементарные поглощения: X+XY=X. (6.18) X+ Y=X+Y. (6.19) X(X+Y)=X. (6.20) X( +Y)=XY. (6.21) Преобразование стрелки Пирса: X¯Y= . (6.22) Преобразование штриха Шеффера: X | Y= . (6.23)

Порядок применения формул при преобразованиях - перечисленные формулы рекомендуется применять в следующем порядке:

1) преобразование стрелки Пирса (6.22) и штриха Шеффера (6.23);

2) законы де Моргана (6.8)-(6.9);

3) формулы дистрибутивности (6.6)-(6.7);

4) элементарные поглощения (6.18)-(6.21).

Обычно формула приводится к ДНФ, а затем отдельные слагаемые поглощаются.

Логические функции

Логическая функция (функция алгебры высказываний) f(X₁, X₂, …, X_n) от n переменных – n-арная операция на множестве [0; 1]. В этой функции логические переменные X₁, X₂, …, X_n представляют собой высказывания и принимают значения 0 или 1.

Существует различных логических функций от n переменных.

Логические операции, рассмотренные в предыдущем разделе, можно рассматривать как логические функции от двух переменных.

Набор функций, с помощью которого можно представить (выразить) все логические функции, называется функционально-полным или базисом. Основными базисами являются:

1) булевый базис, состоящий из конъюнкции, дизъюнкции и отрицания;

2) базис NOR, состоящий из стрелки Пирса;

3) базис NAND, включающий штрих Шеффера.Рассмотрим некоторые способы представления логических функций.

Аналитический. Функция задается в виде алгебраического выражения, состоящего из функций одного или нескольких базисов, применяемых к логическим переменным.

Табличный. Функция задается в виде таблицы истинности (соответствия), которая содержит 2ⁿ строк (по числу наборов аргументов), n столбцов по числу переменных и один столбец значений функции. В такой таблице каждому набору аргументов соответствует значение функции.

Числовой. Функция задается в виде десятичных (восьмеричных, шестнадцатеричных) эквивалентов номеров тех наборов аргументов, на которых функция принимает значение 1. Нумерация наборов начинается с нуля. Аналогичным образом логическая функция может быть задана по нулевым значениям.

Классификация ЭВМ