Золотые размеренности физики

qⁿ ↔ q^-n – симметрия подобия.

Как было показано выше (2.17)соотношения (2.18)не единственны [42],а потому не фундаментальны. Видов их много. Они проявляют себя в золотых матрицах и названы в [39] матричной вязью, о чем ниже.

Аналогично (2.14) строится прогрессия (2.19)со знаменателем Ψ, которая названа в[43] русской прогрессией:

0←Ψⁿ…←Ψ^-3←Ψ^-2←Ψ^-1←1→Ψ¹→Ψ²→Ψ³→…Ψⁿ →∞ (2.19)

Геометрическая прогрессия (2.19) обладает особенностями, выделяющими ее из стандартных прогрессий (номер- степень):

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0,382; 0,486; 0,618; 0,786; 1,00; 1,272; 1,618; 2,058; 2,618; 3,330; (2.20)

Обе прогрессии (2.14) и (2.19) имеют ось симметрии, базисную 1, левую и правую ветви и взаимообратные числа в ветвях, равноотстоящие от базиса. Прогрессия (2.19) обладает свойствами мультипликативности, и симметрией подобия. Дополнительно к (2.18) проявляют себя свойство рекуррентности через интервал. Например:

Ψⁿ = Ψ^n-4 + Ψ^n-2, (2.21)

рекуррентности с членом, умноженным на целое число.

Например:

Ψⁿ = Ψ^n-3 + 2Ψ^n-2, (2.22)

«смешанной» рекуррентности, когда результат суммы чисел в степени и без нее тоже является членом этого ряда. Например, для первого члена:

Ψⁿ = (Ψ^n-5)² + Ψ^n-4, (2.23)

и степенной рекуррентности, сложение, например, квадратов двух последовательных членов ряда дает число, находящееся в том же ряду:

Ψⁿ = (Ψ^n-2)² + (Ψ^n-1)². (2.24)

Отметим, числа каждого члена ряда можно рассматривать как значения длин некоторых отрезков и отрезки эти, в своей последовательности, могут образовывать геометрическую фигуру - прямоугольный треугольник [37]. Это, еще одно, удивительное свойство бесконечного, иррационального ряда чисел, образовывать набор подобных золотых прямоугольных треугольников, причем при придании любой последовательности троек чисел ряда (например, 2,058; 2,618; 3,330; или 0,236; 0,300; 0,382) значимости отрезков. Треугольники «образуются» и при последовательном сдвиге чисел на одну или две цифры (например, 2,058; 2,618; 3,330 - один треугольник; 2,618; 3,330; 4,236 - другой; 3,330; 4,236; 5,388 - третий и т.д.).

Но можно представить и другую картину. Имеются два ортогональных бесконечных катета, пересекаемых на пропорциональном иррациональном расстоянии параллельными линиями, отрезки которых превращаются в гипотенузы. И это уже не цепочка, а плоскость. И возникает предположение, что прямоугольные треугольники есть элементы прямоугольников, а их катеты – стороны прямоугольников. Продолжение катетов - оси координат х и у на плоскости, а гипотенузы - диагонали образовавшихся прямоугольников. И прорисовывающаяся естественным образом координатная сетка начинает проявляться как образ некоей новой квантованной геометрии.

Прогрессия (2.19) имеет более существенное отличие от всех геометрических прогрессий, чем наличие в ней системного рекуррентного свойства. Она образует двухрядовую структуру [37]и заполнена, вроде бы, нечетными, не золотыми членами. Но нечетные, как и четные золотые члены ее ветвей через интервал всякий раз пропорциональны Ф и создают внутри прогрессии два качественно различных иррациональных ряда: один золотой тождественный (2.14), второй подобный ему золотой ряд – который практически не встречается в математической литературе. Данный ряд выпадает по структуре из системы геометрических прогрессий. Покажем это, вычленив из ряда (2.19) все нечетные числа и образовав из них новую последовательность – золотую пропорцию без базисной единицы:

…0,115; 0,185; 0,300; 0,486; 0,786; 1,27; 2,06; 3,33; 5,39; 8,72… (2.25)

Золотая пропорция (2.25) необычна уже тем, что у нее отсутствует базисный центр 1, а, следовательно, нисходящая и восходящая ветви, хотя взаимообратные пары сохраняются. Получается так, что весь ряд в одну сторону восходящий, а в другую – нисходящий. Он не подчиняется симметрии подобия, все же остальные соотношения сохраняются. Именно на принципе ряда без центра построена древнерусская метрология как система соизмерительных инструментов – саженей [43,44,45].

Отметим, что в принципе может быть получено множество золотых пропорций, имеющих знаменателем как Фⁿ так и ⁿ√Ф, и все их члены будут взаимообратными золотыми в интервале, обусловленном степенью при Ф.

Известно, что геометрическая прогрессия с целым или дробным знаменателем, не равным Фⁿ, в алгебре не связана с золотыми числами и отображает последовательность пропорционально изменяемых равнозначных числовых величин. Тем не менее, знаменатель любого ряда геометрической прогрессии типа (2.14) всегда можно представить как произведение двух чисел, одно из которых Ф, а другое U – частное от деления знаменателя q на Ф. И тогда геометрические прогрессии типа (2.14) приобретает следующий вид:

U¹Ф¹; U²Ф²; U³Ф³; …; UⁿФⁿ.(2.26)

От геометрической прогрессии (2.26) можно перейти к золотому ряду простым сокращением каждого члена ряда q^п на соответствующее частное Uⁿ:

q¹∕U¹; q²∕U²; q³∕U³; q⁴∕U⁴; …; q^п∕Uⁿ. (2.27)

Геометрическая прогрессия (2.27) является золотой прогрессией, а в числовой записи – греческим или русским рядом. Отсюда можно заключить, что гармонические числовые ряды всех геометрических прогрессий опосредованно включают в себя числа русского или греческого ряда. Данные пропорции обуславливают структуру алгебраических квадратных уравнений,и построение русских объемных матриц [45].

Отметим также, что любое число имеет свой взаимообратный аналог, а, следовательно, включено во множество геометрических прогрессий. Для нахождения отношения к золотому числу достаточно возвести его в квадрат и определить пропорциональность золотым числам Ф и Ψ.

Вернемся к уравнению (2.3) и рассмотрим его связь с золотыми числами. Это вариант обыкновенного алгебраического квадратного уравнения с одним неизвестным. Общий вид этого уравнения:

aх² + bх + c = 0. (2.28)

Как известно, в результате его решения получаем два корня:

x_1,2 = [–b ± √(b²– 4ac)] ⁄2a (2.29)

Однако общее уравнение (2.28) не используется для получения золотых чисел, поскольку подкоренное уравнение может оказаться мнимым. Его искусственно упрощают, положив в (2.28) а = 1, b = –1 и с = –1, и уравнение приобретает вид (2.3), а решение (2.29) оказывается следующим:

х_1,2 = [1 ± √(1 + 4)] ⁄2 = (1 ± √5) ⁄2. (2.30)

При извлечении корня из 5 находим очень интересное иррациональное число:

√5 = 2,236067978… . (2.31)

Оно хорошо изучено и часто используетсядля объяснения результата решения золотых пропорций. Как известно, для получения золотого числа Ф к нему прибавляется 1 и образовавшаяся сумма делится на 2. Т.е. по (2.31) вычисляется величина х₁ = Ф:

Ф = х₁ = (2,236067978 + 1)⁄2 = 1,618033989… .

Посмотрим, какое число получится, если из (2.31) вычесть Ф:

2,236067978 – 1,618033989 = 0,618033989.

Т.е. число 2,236067978… составлено из двух чисел: из золотого числа Ф и взаимообратного ему золотого числа 1⁄Ф. Обозначим число (2.31) через русскую букву П:

П = (1⁄Ф + Ф), (2.32)

Назовем операцию сложения (2.32) способом взаимообратного сложения. Именно этот способ использован выше для получения ряда Люка. Отметим, что число П проявляет себя во многих математических операциях, и возведем обе части (2.32) в квадрат:

П² = 5 = (1⁄Ф + Ф)² = 0,382 + 2(0,618·1,618) + 2,618. (2.33)

Обратим внимание на произведение взаимообратных чисел 2(0,618∙1,618). Из него следует, что результатами решения квадратных уравнений типа (2.33), первые и последние члены которых взаимообратны, будут иррациональные числа, определяемые величиной b. Сложив первое и третье в (2.33), имеем в натуральных числах:

П² = 2 + 3 = 5.(2.34)

Последовательность 2, 3, 5, фрагмент ряда Фибоначчи и поэтому и в виде П, и в виде отдельных чисел 2, 3, 5 встречается во многих как золотых, так и просто гармонических отношениях. Формулу (2.32) можно превратить в квадратное уравнение. Перенесем ее члены в одну сторону, убрав знаменатель, заменим Ф на х и приравняв П = 0, получим квадратное уравнение с одним неизвестным:

х² – 2,236х + 1 = 0. (2.35)

В уравнении (2.35) очень важно появление знака плюс перед свободным членом. Его решение:

х₁₂ = [2,236±√(5–4∙1∙1)] ∕2; х₁ = 1,618, х₂ = –0,618. (2.36)

И, хотя результат решения (2.36) аналогичен (2.30), следует отметить, что в подкоренном выражении появляется знак минус, а свободный член равен П. Эти знаки в (2.35) и (2.36) не встречаются на сегодня в квадратных уравнениях теории золотых пропорций. К тому же уравнение (2,35) включает иррациональное число, которое и обусловливает получение золотых чисел иначе, чем по (2.3).

Отметим, что подкоренное выражение в (2.30) получаемое в результате решения (2.3) записывается как составленное из двух чисел √(1 + 4). Однако, оно, как следует из (2.36), составлено из четырех чисел. Это тоже важно, поскольку за отбрасываемыми единицами могут скрываться взаимообратные числа, и произведение этих чисел в подкоренном выражении будет аналогом произведения единиц. Учитывая это, можно предположить, что подкоренное выражение в решениях обыкновенного квадратного уравнения представляет собой разность или сумму квадратов двух чисел b² ± n²:

х_1,2 = [–b ± √(b² ± n²)] ⁄2а. (2.37)

А это и есть проявление скрытой сущности обыкновенного квадратного уравнения, в котором вместо 4ас восстановлен n² = √4ас. Не останавливаясь на анализе (2.37), отметим, что для получения, в результате решения, взаимообратных золотых чисел или чисел с мантиссами в исходном уравнении (2.3) должно быть:

• либо отдельные, либо все а, b, и с квадратного уравнения, золотые числа (ритмика числовых рядов);

• либо а = 1, –b, — любое число, а с = –1. В частности результат (1 ± √5)⁄2 получается из (2.3) и при b = 2, а n = 1, и при b = 1, а n = 2.;

• либо произведение а на с равняется единице: а ∙ с = 1 (т.е. а и с взаимообратные числа).

Отметим, что числовые величины с мантиссами получаются в (2.370 при n = 1,2,3, …, при этом, золотые числа получаются в том случае, когда сумма (b² + n²) разлагается на квадратное число и П².Например:√(1 + 4) = √1·5. Это произведение и обусловливает появление взаимообратных золотых чисел:

х₁₂ = [4 ± √(16 + 4)] ∕2 = (4 ± √4∙5) ∕2,

х₁ = 4,236; х₂ = − 0,236.

Все остальные числа, полученные из решения уравнения (2.3), отображая ту или иную числовую гармонию, прямого отношения к золотому множеству не имеют, поскольку не соответствуют критериям рекуррентности или соотношению квадрата числа с золотыми числами.

Приведем пример получения чисел с мантиссами при использовании в (2.32) взаимообратных золотых чисел

П = (0,618х + 1,618)².

Варьируя числами при П = 0, можно получить два варианта уравнений:

0,382х² + 2х + 2,618 = 0, (2.38)

2,618х² + 2х + 0,382 = 0,

и решить их.

х = [–2 ± √(4 – 4∙2,618∙0,382)]∕2∙2,618 = – 0,382.

х₁ = [–2 ± √(4 – 4∙0,382∙2,618)]∕2∙0,382 = – 2,618.

Итак, имея в квадратном уравнении взаимообратные золотые числа и 2 при неизвестном, в результате получаем не два решения, а одно со знаком минус, – золотое число, то, которое в уравнении было свободным членом.