Одномерные безнапорные фильтрационные потоки жидкости

Безнапорное движение жидкости - это такое движение, в котором пьезометрическая поверхность совпадает со свободной поверхностью фильтрующейся жидкости, над которой давление постоянно.

При неподвижном состоянии жидкости ее свободная поверхность горизонтальна, в процессе движения она искривляется, понижаясь вдоль потока.

Безнапорное движение в добыче нефти встречается при шахтной и карьерной разработке нефтяных месторождений. Задачи безнапорного движения интересуют в большей степени гидротехников, например при фильтрации воды через земляные плотины, притоке грунтовой воды к скважинам и колодцам и др. Кроме того, задачи безнапорной фильтрации представляют большой теоретический интерес. Они значительно труднее, чем аналогичные задачи напорного движения. Главная трудность точного решения задач безнапорной фильтрации заключается в том, что неизвестна форма области, занятой грунтовым потоком. В напорной фильтрации форма области потока известна, так как непроницаемые кровля и подошва пласта фиксированы.

Рассмотрим прямоугольную перемычку (плотину), через которую происходит фильтрация жидкости (рисунок 6.1). Уровень жидкости Н₁, называется верхним бьефом, уровень Н₂ - нижним бьефом. Свободная поверхность жидкости, фильтрующейся через тело плотины, называется депрессионной (пьезометрической) поверхностью (кривая ABC). Свободная поверхность выходит на правую грань всегда выше нижнего бьефа. Величина ВС называется промежутком высачивания.

Гидравлическая теория безнапорного движения основывается на следующих допущениях:

1) горизонтальные компоненты скорости фильтрации распределены равномерно в любом поперечном сечении потока;

2) давление вдоль вертикали распределено по гидростатическому закону, т. е. напор.

Рисунок 6.1. Схема безнапорного течения через прямоугольную перемычку

(6.1)

Таким образом, напор вдоль каждой вертикали предполагается постоянным.

Считая давление на свободной поверхности атмосферным (т.е. избыточное давление равно нулю), из (6.1), получим, что напор равен глубине потока h: Н=h.

Горизонтальная компонента скорости фильтрации постоянна вдоль вертикали и равна:

W_x=-k_фdh/dx,

где k_ф = kрq/η - коэффициент фильтрации.

Вертикальная компонента скорости фильтрации равна нулю. Расход жидкости на единицу ширины потока q,т.е. через прямоугольник высотой h и единичной шириной равен:

q= W_x/h*l= k_фhdh/dx (6.2)

Из этой формулы найдем уравнение свободной поверхности. Разделив переменные и проинтегрировав, получим:

Здесь постоянная интегрирования С находится из граничного условия h = Н₁ при х = 0 и равна k_ф Н₁²/2. Тогда уравнение свободной поверхности принимает вид:

qx= k_ф(H₁²-h²)/2. (6.3)

Отсюда легко найти глубину потока h в любом сечении х. Предварительно найдем расход жидкости q. Подставив в (6.3) второе граничное условие h = H 2 при х = l, получим:

q= k_ф(H₁²- H₂²)/(2l). (6.4)

и расход жидкости Qчерез плотину шириной В будет равен:

Q=Bk_ф(H₁²- H₂²) )/(2l)=Bkpq(H₁²- H₂²)/(2ηl) (6.5)

Форму депрессионной поверхности (пьезометрической линии АС) найдем из формулы (6.3). Подставив в нее выражение (6.4) для расхода q, получим:

(6.6)

Таким образом, согласно гидравлической теории безнапорного движения, пьезометрическая линия АС является параболой, что, строго говоря, не отражает реальную картину течения.

Это ясно из следующих соображений. Из формулы (6.6) при Н₂ = 0 у выхода в нижний бьеф (при х = l) получим h = 0 и, следовательно, бесконечную скорость фильтрации W_x = q/h, что физически невозможно.

Следовательно, в действительности должно быть h (l) > H₂, т. е. должен существовать промежуток высачивания ВС и пьезометрическая кривая будет иметь вид ABC, а не АС.

Формула же для дебита (6.5), хотя и выведена на основании приближенных допущений, тем не менее является точной, как было доказано И. А . Чарным.

Рассмотрим теперь схему установившегося безнапорного притока жидкости к совершенной скважине (или колодцу) (рисунок 6.2). Пусть на расстоянии R_k уровень грунтовых вод постоянен и равен Н_к, в скважине установлен постоянный уровень H_с.

Рисунок 6.2. Схема безнапорного притока к совершенной скважине

Скорость фильтрации на расстоянии r от оси скважины:

W_r=- k_фdh/dr,

а расход жидкости через боковую поверхность цилиндра:

Q=|W| 2πrh=k_ф2πrhdh/dr. (6.7)

Разделив в (6.7) переменные и проинтегрировав, получим:

Q ln r = π k_ф h² + С,

где постоянная интегрирования С находится из граничного условия на контуре питания: Н = H_k. или r = R_k.

Тогда имеем:

Q ln (Rk/r) = π k_ф (H_k²- h²), (6.8)

откуда найдем дебит жидкости подставив второе граничное условие на забое скважины: Н = Н_с при r= r_с.

В результате получим:

(6.9)

Разрешив уравнение (6.8) относительно h, найдем уравнение депрессионной кривой АС:

(6.10)

Формулы (6.5) и (6.9) называются формулами Дюпюи.

Заключение

В этой работе были рассмотрены одномерные установившиеся потоки жидкости и газа в пористой среде, схемы фильтрационных потоков и их описание, приведены расчеты основных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа, по полученным данным построены графики зависимостей фазовых проницаемостей от насыщенности жидкостью парового пространства песков. В заключении предложены решенные задачи, показывающие практическое применение данных методов.

Список литературы:

1. К.С. Басниев, И.Н. Кочина, В.М. Максимов «Подземная гидромеханика», М.: Недра, 1993, 416 с.

2. В.Н. Щелкачев, Б.Б Лапук «Подземная гидравлика», М.-Ижевск: РХД, 2001, 736 с.

3. В.Н. Николаевский, К.С. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов «Механика насыщенных пористых сред», М.: Недра, 1970, 336 с.

4. М. Маскет «Течение однородных жидкостей в пористой среде», М.-Ижевск: ИКИ, 2004, 628 с.

5. Г.И. Баренблатт, В.М. Енотов, В.М. Рыжик «Движение жидкостей и газов в пористых пластах», М.: недра, 1982, 208 с.