Аналитические методы

Аналитическими называют методы, в которых ряд свойств многомерной системы (или какой-либо ее части) отображается в n-мерном пространстве точкой, совершающей какое-либо движение. Это отображение осуществляется либо с помощью функции f [Sx], либо посредством оператора Ф [Sx]. На базе аналитических представлений возникли и развиваются математические теории различной сложности - аппарат классического математического анализа, методы исследования операций и др.

Данные методы применяются для хорошо структуризованных проблем в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т.е. когда знания о процессах и событиях в некотором интервале времени позволяют полностью определить их поведение вне этого интервала. Эти методы используются при решении задач оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучшего пути, оптимальной стратегии поведения в конфликтных ситуациях и т.п. Математические теории, развивающиеся на базе аналитических представлений, явились основой ряда прикладных теорий (теории автоматического управления, теории оптимальных решений и др.).

Одним из наиболее распространенных классов аналитических детерминированных методов являются методы математического программирования(оптимизационные) – комплекс методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является оптимальным - наилучшим в определенном критерием смысле с учетом существующих ограничений. Это множество методов включает линейное, нелинейное, динамическое, стохастическое, выпуклое, квадратичное, параметрическое, блочное, целочисленное (дискретное) программирование и др.

Целенаправленное применение математики для постановки и анализа задач управления, принятия экономических решений разного рода (распределения работ и ресурсов, загрузки оборудования, организации перевозок и т. п.) началось с внедрения в экономику методов линейного и других видов математического программирования (работы Л. В. Канторовича, В. В. Новожилова и т.п.). Привлекательность этих методов для задач управления объясняется рядом особенностей [8]:

- требование выбрать целевую функцию и определить ограничения являются определенными средствами постановки задачи. Даже если не удается сформировать систему непротиворечивых ограничений или записать целевую функцию в формальном виде, все равно ориентация на формирование целевой функции и ограничений помогает уточнить представление о проблемной ситуации и сформулировать постановку задачи хотя бы в первом приближении, а затем уже искать средства для дальнейшей формализации описания и решения задачи;

- появляется возможность объединения в единой формальной модели разнородных критериев, что очень важно при отображении реальных сложных управленческих ситуаций;

- модель математического программирования допускает выход на границу области определения переменных, в то время как методы классической математики требуют введения строгих начальных и граничных условий, значения которых не может принимать переменная;

- решение задачи математического программирования часто осуществляется с помощью пошагового приближения к решению на основе некоторого алгоритма поиска результата;

- возможная в наиболее простых случаях графическая интерпретация задачи дает наглядное представление об области допустимых решений, что помогает в практических ситуациях.

Линейноепрограммирование используется в том случае, когда целевая функция и ограничительные условия выражены линейными зависимостями. Решение задачи состоит в отыскании значений переменных (аргументов), обеспечивающих минимум или максимум целевой функции. Применение этого метода возможно, если экономический объект или процесс могут быть адекватно описаны линейными зависимостями. В противном случае метод неприменим.

Стохастическое программирование использует аппарат линейного программирования при случайном характере аргументов. Целочисленным называется программирование, при котором аргументы могут принимать только целочисленные значения.

Методы нелинейного программирования используются тогда, когда зависимости между переменными в целевой функции и (или) ограничениях носят нелинейный характер. При этом возможны различные ситуации: целевая функция линейна, но нелинейны ограничения, или, наоборот, нелинейны и целевая функция, и ограничения. Задачи нелинейного программирования достаточно сложны и не имеют универсального метода их решения. Выпуклое программирование включает совокупность специальных методов решения нелинейных экстремальных задач, у которых выпуклы либо целевые функции, либо ограничительные условия. Методы нелинейного программирования используются при решении задач расчета показателей роста производительности труда, изменения издержек производства и т.п.

Метод динамического программирования также позволяет найти оптимальное решение. При этом процесс рассматривается в направлении, противоположном движению времени - «из будущего в настоящее». Теоретической основой этого метода является принцип оптимальности Беллмана-Понтрягина, который гласит: «Всякая оставшаяся часть оптимального процесса - оптимальна». Поэтому процесс моделирования протекает от искомого (конечного) состояния к текущему. Методом динамического программирования могут решаться задачи выбора момента времени замены оборудования, распределения различных видов ресурсов и т. д.

Важное значение при исследовании систем играют сетевые методы, которые отражают процессы развития социально-экономических систем во времени как последовательность взаимосвязанных этапов с временными и ресурсными характеристиками. Наиболее распространенным в данной группе методов является сетевое планирование. Сетевое планирование позволяет установить логические взаимосвязи и взаимообусловленность выполнения работ, а также оценить время выполнения соответствующих работ и плана в целом. Поэтому системы сетевого планирования нашли широкое применение в управленческой и предпринимательской деятельности для различных уровней управления. Эти системы применяется при планировании научных разработок, сложных высокотехнологичных образцов техники, строительства сложных объектов, для разработки бизнес-планов и бизнес-проектов, управления инвестиционной деятельностью, планирования маркетинговых исследований, формирования сложных научно-технических и социально-экономических программ. Сетевое планирование позволяет наглядно представить взаимосвязь отдельных элементов системы, определить те работы, которые лимитируют выполнение других работ и всего плана в целом.

Большое распространение в исследовании систем получили матричные(в том числе балансовые) методы и модели исследований, которые основаны на описании объекта исследования в виде матриц, чаще всего в виде системы балансовых соотношений, связывающих между собой входную и выходную информацию. Основное правило построения балансовых моделей заключается в соблюдении равенства общих итогов строк и столбцов моделей. Данные модели применяются для обоснования планов предприятий, отраслей, регионов.

Аналитические методы позволяют получить, прежде всего, модели состава и структуры и внутренних взаимодействий систем как в статике, так и в динамике. Однако их применение требует хорошо структуризованной проблемы и адекватной информационной базы. Для сложных многокомпонентных, многокритериальных систем управления получить требуемые аналитические зависимости достаточно трудно. Более того, если даже это и удается, то очень сложно доказать правомерность применения этих аналитических выражений, т. е. адекватность модели рассматриваемой задаче. Подробнее с содержанием данных методов можно ознакомиться, например, в [8, 33, 36, 39].