Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Определите, сколько различных векторов задают упорядоченные пары точек, составленные из вершин:

а) треугольника, б) параллелограмма?

1.2. В плоскости треугольника ABC взята точка О. Отложите от нее вектор:

а) б) в)

1.3. По заданным векторам и постройте их линейные комбинации:

а) б) в) г)

1.4. Вычислите скалярное произведение векторов и если

а) б)

в) г)

1.5. Зная, что вычислите:

а) б) в) г) д) е)

II уровень

2.1. К точке О приложены две силы и и для которых а угол между направлениями этих сил равен 120⁰. Найдите величину равнодействующей этих сил.

2.2. В треугольнике ABC задается: . Точки M, N, P являются серединами сторон BC, AC и AB соответственно. Выразите векторы через векторы

2.3. Определите, на какое число нужно умножить ненулевой вектор чтобы получить вектор удовлетворяющий следующим условиям:

а) б)

в) , где г) ?

2.4. Определите, каким условиям должны удовлетворять векторы и чтобы:

а) б) ?

2.5. Найдите и , если векторы и перпендикулярны, причем

2.6. Вычислите , если

2.7. Вычислите если

2.8. Найдите длину вектора если (все векторы лежат в одной плоскости).

2.9. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и где и – единичные векторы, угол между которыми 60⁰.

2.10. Найдите , если где

2.11. Определите, какой угол образуют единичные векторы и если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны?

2.12. В параллелограмме ABCD длины векторов равны соответственно 1, 2, 1. Найдите скалярное произведение векторов и

2.13. Найдите угол между векторами и если , .

III уровень

3.1. Точки K, L являются серединами сторон AD и AB параллелограмма ABCD. Полагая выразите векторы и через векторы и .

3.2. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD угла A. Найдите разложение вектора по векторам и

3.3. В параллелограмме ABCD точки M и N являются серединами сторон AD и CD соответственно. Выразите вектор через если О – точка пересечения отрезков AN и BM.

3.4. Катеты AB и AC прямоугольного треугольника ABC соответственно равны 6 и 8. Найдите косинус угла между векторами и если известно, что AM и BN – биссектрисы углов А и В заданного треугольника.

3.5. Площадь равнобедренного треугольника равна а угол при вершине А – 120⁰. Найдите скалярное произведение векторов и если известно, что K и L – середины соответственно сторон BC и AC треугольника ABC.

3.6. Вычислите , если .