Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Напомним, что термин «линейное уравнение» означает то, что уравнение содержит неизвестную функцию и все ее производные только в первой степени.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции и ее производных. Будем записывать его так:
(1)
Функции: - называются коэффициентами данного уравнения, а функция
- его свободным членом. Если в уравнении (1) его правая часть (свободный член ) равна нулю, то дифференциальное уравнение называется однородным:
(2)
Установим некоторые свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Очевидно, что одним из решений уравнения (2) есть : у ≡ 0. Это решение называют нулевым или тривиальным. В дальнейшем, под задачей решения однородного дифференциального уравнения будем понимать задачу отыскания его нетривиальных решений.
Если функции - решения уравнения (2), то решением этого уравнения есть также функция:
(3)
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(4)
где p,q – действительные числа..
Эйлер предложил искать частные решения этого уравнения в виде
(5)
где k – постоянная, которую нужно найти.
Подставив функцию (5) в уравнение (4), получим
,
Поскольку , то
(6)
Квадратное уравнение (6) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (4). Обозначим корни характеристичного уравнения через и рассмотрим возможные случаи:
1) Если - действительные и различные числа, то общее решение уравнения находят по формуле:
(7)
2) Если - действительные и равные числа, то общее решение уравнения находят по формуле:
(8)
3) Если корни уравнения комплексно-сопряженные , то
общее решение уравнения находят по формуле:
(9)
Дата добавления: 2020-11-18; просмотров: 360;