Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.


Напомним, что термин «линейное уравнение» означает то, что уравнение содержит неизвестную функцию и все ее производные только в первой степени.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции и ее производных. Будем записывать его так:

 

(1)

Функции: - называются коэффициентами данного уравнения, а функция

- его свободным членом. Если в уравнении (1) его правая часть (свободный член ) равна нулю, то дифференциальное уравнение называется однородным:

 

(2)

Установим некоторые свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Очевидно, что одним из решений уравнения (2) есть : у ≡ 0. Это решение называют нулевым или тривиальным. В дальнейшем, под задачей решения однородного дифференциального уравнения будем понимать задачу отыскания его нетривиальных решений.

Если функции - решения уравнения (2), то решением этого уравнения есть также функция:

(3)

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

(4)

где p,q – действительные числа..

Эйлер предложил искать частные решения этого уравнения в виде

(5)

где k – постоянная, которую нужно найти.

Подставив функцию (5) в уравнение (4), получим

,

Поскольку , то

(6)

Квадратное уравнение (6) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (4). Обозначим корни характеристичного уравнения через и рассмотрим возможные случаи:

1) Если - действительные и различные числа, то общее решение уравнения находят по формуле:

(7)

2) Если - действительные и равные числа, то общее решение уравнения находят по формуле:

(8)

3) Если корни уравнения комплексно-сопряженные , то

общее решение уравнения находят по формуле:

(9)



Дата добавления: 2020-11-18; просмотров: 360;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.