Примеры решения задач на взаимодействие распределённых зарядов

1.  Прямая бесконечная нить, равномерно заряженная электричеством с линейной плотностью t₁ =3×10^-7 Кл/м, и отрезок длиной l=20 см, равномерно заряженный электричеством с линейной плотностью t₂ =2×10^-7 Кл/м, расположены в одной плоскости перпендикулярно друг к другу на расстоянии r₀ = 10 см. Определить силу взаимодействия между ними.

Решение

В задаче рассматривается взаимодействие распределённых зарядов, поэтому для нахождения силы F следует воспользоваться соотношением:

. (1)

Нить создаёт вокруг себя электростатическое поле, в котором находится заряд, распределённый на отрезке длины l. Если выделить на этом отрезке малый участок длиной dr, то находящийся на нём заряд

dq = t₂dr (2)

можно считать точечным и рассматривать dF как силу, действующую со стороны электрического поля нити на dq. – вектор напряжённости поля нити в месте нахождения электрического заряда dq. Электрическое поле равномерно заряженной нити определяется выражением

. (3)

Выражение (1) можно переписать в скалярной форме, учитывая, что векторы и параллельны:

dF = Edq. (4)

Подставив (2) и (3) в (4), получим

. (5)

Для нахождения результирующей силы, действующей на отрезок нити с зарядом q₂ со стороны поля прямой бесконечной нити, проинтегрируем выражение (5) в пределах от r₀ до (r₀+l):

. (6)

После подстановки числовых значений получим

.

2. Полый стеклянный шар несёт равномерно распределённый по объёму заряд. Его объёмная плотность r=100 нКл/м³. Внутренний радиус шара R₁ =5 см, а наружный R₂ =10 см. Найти напряжённость электрического поля на расстоянии: а) r₁=3 см; б) r₂ =6 см; в) r₃ =12 см от центра шара.

Решение

Так как заряд шара распределён в пространстве симметрично относительно центра шара О, то и электрическое поле симметрично относительно этой точки. Это позволяет применить для решения задачи метод Гаусса. Из симметрии задачи следует, что вектор направлен вдоль и зависит только от расстояния до центра шара r. Выберем гауссову поверхность в виде сферы, переменного радиуса r с центром в точке О. Учтем, что модуль напряжённости поля шара одинаков во всех точках этой поверхности и Е _n= E _r. Так как шар диэлектрический, следует применить теорему Гаусса для вектора электрического смещения . Тогда поток вектора смещения сквозь гауссову поверхность

,

где S – площадь гауссовой поверхности, r – её радиус.

Всё пространство можно разбить на 3 области:

1) 0 < r < R₁ 2) R₁ < r < R₂ 3) r > R₂. Применим теорему Гаусса для каждой области.

Для области 0 < r < R₁.

Величина свободного заряда, охватываемого поверхностью интегрирования в пределах первой области, равна нулю. Следовательно, поток вектора смещения также равен нулю, а так как площадь поверхности не нулевая, то смещение и напряжённость поля в пределах первой области равны нулю:

D₁ = 0, Е₁ = D/e₀ = 0.

Для области R₁ < r < R₂.

Свободный заряд, охватываемый гауссовой поверхностью, может быть выражен через объём той части шара, которая попала внутрь сферы радиусом r₂:

q_своб= (r₂³-R₁³)r.

Применяя теорему Гаусса, получим

D₂4pr₂² = ,

E₂ = = ,

где e – диэлектрическая проницаемость стекла.

В/м.

Для области r > R₂.

Внутрь поверхности попадёт весь заряд шара, поэтому

q_своб = (4/3)p(R₂³ - R₁³),

и, применив теорему Гаусса, получим выражение

D₃ 4pr₃² = (4/3) p (R₂³ - R₁³)r ;

Е ₃ = D ₃/e₀ = ;

В/м.

3. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заряжен с линейной плотностью t=133 нКл/м. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести заряд q=6,7нКл из центра полукольца в бесконечность?

Решение

Работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2, может быть выражена по формуле А = q(j₁ - j₂), где j₁ и j₂ – потенциалы электрического поля, созданного полукольцом в центре и на бесконечности. Примем j₂=0. Тогда

А = qj₁. (1)

Потенциал j₁ найдём, используя принцип суперпозиции для потенциала поля, созданного непрерывно распределёнными зарядами. Для этого разобьем полукольцо на элементарные отрезки длиной dl. Заряд, находящийся на каждом из них, можно считать точечным: dq = tdl. Потенциал поля такого заряда в точке 1

.

Интегрируя полученное выражение в пределах от нуля до длины полуокружности l = pR, получим искомый потенциал:

j₁= , . (2)

Подставим уравнение (2) в уравнение (1) и получим

А = qj₁ = .

Подставим числовые значения заданных величин:

Дж.

4. Металлическому шару радиусом R сообщили заряд Q, после этого поверхность шара покрыли слоем диэлектрика толщиной h. Чему равна плотность связанных зарядов на внешней и внутренней поверхностях диэлектрика и полный наведённый заряд, если относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика e.

Решение

Применим теорему Гаусса для вектора . Поверхность интегрирования выберем в виде сферы с радиусом равным r и центром, совпадающим с центром металлического шара:

.

Ввиду симметрии задачи интеграл в левой части

.

Сравнивая две формулы, получим выражение для модуля электрического смещения:

D = Q/4pr ².

С другой стороны, по определению

.

Используя связь между вектором поляризации и напряженностью электрического поля, запишем

, ,

где k – восприимчивость диэлектрика.

Подставим это выражение в формулу для электрического смещения

.

Учитывая, что векторы и параллельны, и используя результат применения теоремы Гаусса, запишем выражение для модуля вектора поляризации

.

Вектор перпендикулярен поверхности диэлектрика и нормальная составляющая вектора поляризации равна поверхностной плотности связанных зарядов:

P = P _n = s^¢.

Тогда плотность связанных зарядов на внутренней поверхности диэлектрика рассчитывается при r=(R+0)

,

и полный заряд, наведенный на внутренней поверхности диэлектрика и связанный с s₁^¢ соотношением q^¢ = 4pR²s₁^¢

.

В силу закона сохранения заряда точно такой же по модулю, но противоположный по знаку заряд должен появиться на внешней поверхности диэлектрика. Очевидно, что его плотность

.

5. На два последовательно соединенных конденсатора С₁ = 100 пФ и С₂ = 200 пФ подано постоянное напряжение U = 300 В. Определить энергию, запасенную в каждом конденсаторе.

Решение

Так как обкладки конденсаторов соединены, то заряд, появляющийся под действием приложенного напряжения на первом конденсаторе, равен заряду, появляющемуся на втором конденсаторе (явление электростатической индукции). Поскольку заряд связан с емкостью конденсатора и напряжением на нем соотношением q = CU, то мы можем записать

C ₁U ₁ = C ₂U ₂.

С другой стороны,

U ₁ + U ₂ = U.

Решая совместно эту систему уравнений, найдем напряжение на первом и втором конденсаторе

,

.

Подставляя эти значения в формулу для энергии конденсатора, получим

;

.

Подставим значения величин и получим

W_Э1 = 2×10^-6 Дж = 2 мкДж, W_Э2 = 1×10^-6 Дж = 1 мкДж.

6. Медный проводник (удельное сопротивление меди r = 17 нОм·м) подключен к источнику с ЭДС, e = 4 В. Внутреннее сопротивление источника r = 0,1 Ом. Сечение проводника S = 0,085 мм², длина l = 9,5 м. Считая, что ток течет по всему поперечному сечению проводника, найти величину напряженности электрического поля внутри него.

Решение

Чтобы найти напряженность электрического поля в проводнике, воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме:

j = sE,

где j – плотность тока; E – вектор напряженности электрического поля; s – электропроводность вещества проводника, равная 1/r.

Величина искомой напряженности электрического поля в проводнике определяется соотношением:

E = j / s = rj. (1)

Таким образом, задача нахождения напряженности поля сводится к задаче нахождения величины плотности тока j в цепи.

Плотность тока можно найти, если известна сила тока I, протекающего по проводнику

j = I / S. (2)

Полный ток в цепи найдем из закона Ома для полной цепи:

I = e / (R + r), (3)

где r – внутреннее сопротивление источника; R - сопротивление проводника.

Для R справедливо соотношение:

R = rl/S. (4)

Объединяя формулы (1) - (4), окончательно запишем

E = rj = rI / S = re / (R + r)S = re / (rl / S + r)S. (5)

Подстановка в (5) численных данных позволяет написать ответ

Е = 0,4 В/м.

7. Падение напряжения в проводнике, состоящем из двух последовательно соединенных кусков медной проволоки одинаковой длины (l₁ = l₂ = 10 м), но разного диаметра (d₁ = 2d₂), равно 10 В. Найти удельную тепловую мощность тока во втором куске проволоки. Удельное сопротивление меди r = 17 нОм·м.

Решение

Удельная тепловая мощность тока (плотность тепловой мощности)

w = sE ² = E² = rj ².

Поэтому, чтобы найти w₂, необходимо определить две величины: количество теплоты Q₂ , которое выделяется в более тонком проводнике в единицу времени, и объем этого проводника.

Количество теплоты Q₂ можно найти, если учесть, что ток в проводниках один и тот же, а сопротивления проводников отличаются в 4 раза.

.

Согласно закону Джоуля-Ленца, представленному в интегральной форме,

,

где Q₁ – тепло, выделяющееся в единицу времени в более толстом проводнике.

Общая энергия, которая выделяется во всем проводнике, рассчитывается по формуле

, (1)

где U –падение напряжения в проводнике.

Из уравнения (1) следует, что количество теплоты, выделяющееся во втором проводнике в единицу времени,

. (2)

В уравнении (2) все величины, кроме сопротивления второго участка проводника, известны. Однако в знании R₂ нет необходимости. Действительно, если связать между собой объем второго проводника с его сопротивлением

,

то нетрудно видеть, что удельная тепловая мощность тока во втором проводнике не зависит от его сопротивления

. (3)

Подставляя в соотношение (3) численные данные, получаем ответ

w ₂ = 3,76×10 ⁷ Вт/м³.

8. Заряд сферического конденсатора из-за того, что через диэлектрическую прокладку протекает ток, уменьшается за время t в n раз. Найти удельное сопротивление r прокладки, если ее диэлектрическая проницаемость равна e.

Решение

Сопротивление диэлектрика между обкладками сферического конденсатора можно найти, просуммировав сопротивления сферических слоев толщиной dr, граничащих друг с другом:

, (1)

где a,b – радиусы соответственно внутренней и внешней обкладок сферического конденсатора; e₀ – электрическая постоянная; C – емкость сферического конденсатора находится по формуле

.

Из уравнения (1) следует, что для определения величины удельного сопротивления материала прокладки достаточно найти произведение емкости конденсатора на полное сопротивление прокладки:

. (2)

Это можно сделать, если учесть, что за время dt конденсатор теряет заряд:

, (3)

где I – ток утечки. Знак «-» в (3) учитывает тот факт, что заряд конденсатора со временем убывает.

По закону Ома

, (4)

где U – разность потенциалов между обкладками конденсатора,

, (5)

где q – заряд конденсатора.

Объединяя формулы (3) – (5), получаем дифференциальное соотношение, в которое входит искомое произведение CR:

.

После интегрирования получаем

, (6)

где q₁ – начальный заряд конденсатора; q₂ – конечный.

Подставляя CRиз (6) в (2), окончательно имеем

.