Основные определения

Рис. 4.45. Температурные компенсаторы

Известно, что в статически неопределимых стержневых конструкциях возникают напряжения в результате температурного воздействия. Температурные напряжения особенно велики в стержне, защемленном по двум концам (см., например, решение задачи № 4 об определении температурных напряжений [5]). Для уменьшения температурных напряжений в такого рода конструкциях (например, в трубопроводах) используются температурные компенсаторы, которые увеличивают свободу деформаций за счет изгиба. Температурные компенсаторы представляют собой статически неопределимые рамы с двумя заделками по концам (рис. 4.45). В данном разделе рассматривается расчет плоских статически неопределимых рам (плоских трубопроводов) на температурное воздействие по методу упругого центра. Предполагается, что стержни рамы соединены между собой жестким образом под углом 90°, все стержни имеют одинаковую жесткость.

Рассматриваемые рамы являются три раза статически неопределимыми системами. Выберем основную систему для рамы, показанной на рис. 4.45, а, отбросив левую заделку (рис. 4.46). Лишними неизвестными являются реакции в защемлении: Х₁, Х₂ и Х₃. В точке О поместим начало декартовой системы координат хОy. Положительное направление силы Х₁ должно совпадать с направлением оси х, силы Х₂ – с направлением оси y. Положительное направление пары сил Х₃ должно соответствовать направлению поворота оси х к оси y. Можно показать, что решение канонической системы уравнений метода сил для выбранной основной системы дает такие формулы для определения лишних неизвестных:

; (4.30)

; (4.31)

. (4.32)

Рис. 4.46. К расчету трубопровода: а – основная система; б – точка С – упругий центр

В этих формулах DТ – изменение температуры; a – коэффициент линейного температурного расширения; EI – жесткость стержней рамы; L_x, L_y – суммарные длины стержней рамы, параллельных осям х и y. При вычислении длины стержня учитывается направление обхода по длине стержня от начала координат. Если обход осуществляется по направлению оси, то длина участка рамы считается положительной, в противном случае – отрицательной. Например, для рамы, показанной на рис. 4.46, L_y = 0, так как обход левой стойки рамы от начала координат происходит по направлению оси y, а обход правой стойки – против направления оси.

Чтобы пояснить, что такое х_с, y_c, , и , будем рассматривать раму как плоскую фигуру, состоящую из прямоугольников. Одна сторона каждого прямоугольника равна длине участка рамы, а другая сторона (толщина) всегда равна 1. Например, рама на рис. 4.46 считается плоской фигурой, состоящей из пяти прямоугольников с длинами соответственно l₁, l₂, l₃ и 2×l₄и толщиной всех прямоугольников, равной 1. Тогда х_с, y_c – координаты центра тяжести этой плоской фигуры в системе координат xОy. Центр тяжести фигуры (точка С на рис. 4.46, б) называется упругим центром. Через упругий центр проведем центральные оси x_c, y_c, параллельные осям x, y. В формулах (4.30), (4.31) , и – осевые и центробежный моменты инерции рассматриваемой плоской фигуры относительно центральных осей x_c, y_c.

Напомним некоторые формулы. Координаты центра тяжести плоской фигуры находим так:

; , (4.33)

где А – площадь фигуры. В данном случае, так как толщина всех прямоугольников равна единице, площадь равна сумме длин всех участков рамы. Для рамы на рис. 4.46 ; S_x, S_y – статические моменты фигуры относительно осей x, y, которые находятся как суммы статических моментов каждого прямоугольника относительно осей x, y. Статический момент каждого прямоугольника равен произведению площади прямоугольника на координату центра тяжести прямоугольника в системе координат хОy.

Моменты инерции плоской фигуры вычисляются как суммы моментов инерции простых фигур, составляющих данную фигуру, в рассматриваемом случае момент инерции всей фигуры равен сумме моментов инерций прямоугольников единичной толщины. Для каждого прямоугольника справедливы формулы

; (4.34)

; (4.35)

, (4.36)

где – площадь прямоугольника ( , ); a, b – координаты центра тяжести прямоугольника в системе координатных осей x_c, y_c; , – моменты инерции прямоугольника относительно собственных центральных осей x₀, y₀, параллельных осям x_c, y_c. Если ось x₀ (или y₀) расположена вдоль рассматриваемого участка трубопровода, то есть параллельна стороне прямоугольника l_i, то можно считать (или ). Если же ось x₀ (или y₀) перпендикулярна стороне l_i, то . В формуле (4.36) учтено, что центробежный момент инерции прямоугольника относительно собственных осей x₀, y₀ равен нулю, так как эти оси являются главными осями инерции прямоугольника.

После определения величин лишних неизвестных по формулам (4.30) – (4.32) строим эпюры внутренних усилий в основной системе, как в обычной статически определимой раме. Эпюру изгибающих моментов можно проверить следующим образом. В упругом центре приложим найденные силы Х₁ и Х₂, нарисовав их в масштабе. Определим графически равнодействующую этих сил. Точки пересечения линии действия этой равнодействующей с осью рамы – это точки, в которых изгибающий момент должен равняться нулю (точки A, B, D на рис. 4.46, б).

Построив эпюры внутренних усилий, проверим прочность конструкции, имея в виду, что поперечное сечение стержней рамы – труба и, кроме температурного воздействия, труба испытывает действие внутреннего давления. Максимальные нормальные напряжения s_х, действующие на площадках, перпендикулярных оси трубы, находим, складывая напряжения от продольной силы и максимального изгибающего момента в опасном сечении рамы[13]:

. (4.37)

Для проверки прочности трубы из пластичного материала по формуле (4.37) находим максимальное по модулю напряжение. Если труба выполнена из хрупкого материала, при проверке прочности важен знак напряжений. Кольцевое напряжение s_q , возникающее от внутреннего давления q, определяем по формуле

, (4.38)

Рис. 4.47. К определению напряжений в трубе: а – распределение напряжений sх в опасном сечении; б – напряженное состояние опасных точек

где R и d – соответственно внешний радиус и толщина трубы. Напряжение s_q всегда растягивающее. На рис 4.47, а показана эпюра распределения напряжений s_х в опасном сечении при положительной продольной силе. Рис. 4.47, б изображает напряженное состояние опасных точек 1, 1¢. Так как касательные напряжения на площадках элементов, показанных на рис. 4.47, б, отсутствуют, то эти площадки являются главными. Проверку прочности в опасных точках осуществляем по теории прочности, соответствующей материалу трубы.