Модель идеального перемешивания.

На рис.3.1.1 представлена схема аппарата идеального

перемешивания.

Рис.3.1.1. Схема аппарата идеального перемешивания.

Аппарат идеального смешения характеризуется тем, что интенсивность перемешивания в нем настолько велика, что поступающее с потоком вещество мгновенно распространяется по всему объему аппарата и появляется в выходном потоке. Таким образом, в таком аппарате любое возмущение на входе мгновенно появляется на выходе. Составим для такого аппарата уравнение материального баланса при следующих условиях:

1. Объемный расход жидкости постоянный.

2. Объем жидкости в аппарате постоянный.

3. Концентрация индикаторного вещества (трассера) на выходе из аппарата, равна концентрации его в аппарате (условия идеального смешения).

4. В аппарате соблюдаются условия квазистационарности – изменение концентрации во входном потоке происходит медленнее, чем устанавливается равномерное распределение вещества по всему объему.

Составим уравнение материального баланса вещества для этого аппарата.

Входной поток вещества будет равен

J_М,вх(t)=v×c_вх(t)× (3.1.1)

Выходной поток вещества будет равен:

J_М,вых(t)=v×c_вых(t)× (3.1.2.)

Накопление вещества в аппарате за время от 0 до t, будет равно

(3.1.3)

Продифференцируем уравнение (3.1.3) по времени с учетом того, что масса вещества в аппарате будет равна произведению концентрации на объем аппарата, и используем для потоков выражения (3.1.1) и (3.1.2):

(3.1.4)

Где V_r – объем аппарата в м³.

Учитывая, что в начальный момент времени концентрации в аппарате была постоянной величиной, разделим обе части уравнения (3.1.4) на объемный расход смеси v и перенесем второе слагаемое правой части в левую часть. В итоге получим следующее уравнение:

(3.1.5)

Где - среднее время пребывания смеси в аппарате, [c.], t-текущее время, [c].

Полученное дифференциальное уравнение (3.1.5) представляет собой математическую модель аппарата идеального перемешивания. Для того чтобы узнать, как изменяется с_вых(t), необходимо решить уравнение (3.1.5) при заданной функции с_вх(t) (внешнее воздействие).

В качестве типовых внешних воздействий при анализе поведения объектов чаще всего используют следующие виды воздействий:

· Ступенчатое воздействие с_вх(t)= А=const

· Импульсное воздействие с_вх(t)=d(t)-функция Дирака.

· Синусоидальное воздействие с_вх(t)=C₀ sin(wt)

Рассмотрим решение уравнения (3.1.5) при ступенчатом входном воздействии. Тогда уравнение (3.1.5) принимает вид:

(3.1.6)

Уравнение (3.1.6) можно решить разделением переменных. Для этого разделим обе части уравнения (3.1.6) на величину времени контакта t_ср и произведем операцию разделения переменных. В результате получим уравнение в полных дифференциалах:

(3.1.7)

После интегрирования уравнения (3.1.7) получаем:

(3.1.8)

Где В – постоянная интегрирования, которая может быть определена из начальных условий: при t=0 c_вых(t) = 0. Отсюда получаем, что -ln(A)=ln(B).

Подставляя найденное значение произвольной постоянной в уравнение (4.1.8), получим:

(3.1.9)

После потенцирования окончательно получим

(3.1.10)

На рис.3.1.2 представлен график изменения выходной концентрации при воздействии на вход единичного ступенчатого возмущения. Если в уравнении (3.1.10) принять t=t_ср, тогда получим:

(3.1.11)

Полученное значение свидетельствует о том, что среднее время пребывания в аппарате идеального перемешивания есть время, в течение которого выходной параметр с_вых(t) изменится на 63.25% от величины нанесенного на объект возмущения..

Рис.3.1.2 . Кривая разгона аппарата идеального перемешивания на ступенчатое единичное возмущение входа.

Среднее время пребывания t_ср является параметром модели аппарата идеального перемешивания, Модель аппарат идеального перемешивания применяется для аппаратов, у которых обеспечиваются условия интенсивного перемешивания, и время смешения много меньше среднего времени пребывания вещества в аппарате. Cреднее время пребывания может быть определено из экспериментально полученной кривой разгона следующим образом: Если прологарифмировать уравнение (3.10), мы получим уравнение

Это уравнение представляет собой уравнение прямой в координатах

. При этом тангенс угла наклона этой прямой есть величина, обратная времени пребывания. На следующем рисунке представлена графическая зависимость для определения среднего времени пребывания по экспериментальной кривой разгона.