Расчет корректора динамики

В качестве корректора динамики предлагается выбирать звено со следующей передаточной функцией:

, (6.50)

где – полином числителя передаточной функции объекта , а – введенный расчетный полином с неизвестными коэффициентами .

Суть модального метода синтеза заключается в приравнивании действительного и желаемого характеристических уравнений замкнутой системы и вычислении из полученных соотношений параметров регулятора.

Первоначально определим характеристическое уравнение системы, структурная схема которой приведена на рис. 6.17:

. (6.51)

С учетом (6.47), (6.48) и (6.50) уравнение (6.51) принимает вид

причем его порядок равен ( ).

Подставляя вместо , и их выражения, получим действительное характеристическое уравнение замкнутой системы в следующей форме:

. (6.52)

Теперь на основе требований к качеству переходных процессов (заданного перерегулирования и быстродействия ) сформируем желаемое характеристическое уравнение того же порядка, что и (6.52). Для его конструирования используем корневые оценки переходных процессов, с помощью которых получим эталонное распределение корней на комплексной плоскости (см. п. 5.5.2).

Предварительно определим границу расположения желаемых корней системы. Она зависит от заданного времени переходного процесса (оценка (5.36)) и приближенно может быть найдена по соотношению

. (6.53)

Заданное перерегулирование ограничивает сектор на комплекс-
ной плоскости, внутри которого дол-жны располагаться желаемые корни (рис. 6.18). С этой целью по соотношению

определяется требуемое значение колебательности процессов в системе , а затем вычисляется значение мнимой части корней с «максимальным» размахом:

. (6.54)

Эталонные корни могут выбираться внутри ограниченной области комплексной плоскости (рис. 6.19) произвольным образом. Однако чем дальше они удалены от границы , тем меньше длительность переходного процесса и больше потребуется ресурс управления объекта. Поэтому рекомендуется выбирать корни , достаточно близко друг к другу и правой границе области расположения корней, а затем сформировать желаемое уравнение следующим образом:

. (6.55)

Характеристическое уравнение (6.55) запишем в стандартном виде

. (6.56)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях оператора p желаемого (6.56) и действительного (6.52) характеристических уравнений системы, запишем выражения для определения неизвестных параметров регулятора:

(6.57)

Полученные из (6.57) расчетные соотношения имеют вид

(6.58)

Таким образом, мы определили параметры передаточных функций и регулятора, обеспечивающего в системе требуемые свойства в статике и динамике.

Пример 6.8

Поведение одноканального объекта описывает передаточная
функция

Требуется синтезировать систему, в которой качество процессов будет отвечать следующим требованиям: с;

Для определения параметров регулятора используем операторную процедуру модального метода синтеза, расчетная структурная схема которого приведена на рис. 6.18.

В качестве корректора статики используем интегрирующее звено с передаточной функцией , что гарантирует нулевую статическую ошибку в системе. С целью обеспечения требуемых динамических свойств формируем корректор динамики в виде

Здесь – неизвестные коэффициенты регулятора, которые требуется определить.

Используя структурные преобразования, запишем характеристическое уравнение замкнутой системы (см. рис. 6.17)

Сформируем теперь желаемое характеристическое уравнение третьего порядка. Предварительно выберем распределение корней, обеспечивающее заданное качество процессов. Поскольку в системе не допускается перерегулирование, корни должны быть вещественными и располагаться на расстоянии не ближе от мнимой оси. В результате выберем следующие корни: