Синхронизация генераторов, метод Хохлова

Явление затягивания частоты проявляется и во взаимной синхронизации частот двух связанных генераторов (рис. 74).

Рис. 74. Схема двух связанных генераторов.

В случае двух связанных генераторов с сильно различающимися парциальными частотами генераторы работают практически независимо, и каждый генератор генерирует свою собственную независимую моду со своей нормальной частотой близкой к парциальной. Вблизи синхронизма парциальных частот имеет место взаимная синхронизация генераторов. В полосе синхронизации в системе существуют колебания лишь одной частоты, амплитуда и фаза которых зависят от расстройки парциальных частот и от соотношения мощностей генераторов.

Колебания в связанных генераторах описываются системой приближенных уравнений

(7.41)

Здесь n₁ и n₂ - парциальные частоты контуров; ; - колебательные характеристики первого и второго генераторов; a₁, a₂ - коэффициенты связи генераторов:

,  .

Будем искать синхронные решения (когда колебания установились с одной частотой), а решать будем с помощью метода ММА, тогда положим

,  ,

(7.42)

где w₀ = (n₁ + n₂)/2. Считая, что a и d малые параметры, запишем укороченные уравнения (3.20) в виде

(7.43)

где обозначено F = j - y - разность фаз колебаний генераторов; D₁ = w₀ - n₁, D₂ = w₀ - n₂ - расстройки генераторов;

, .

Вычтем из четвёртого уравнения системы (7.43) второе, тогда получим, что разность фаз F удовлетворяет уравнению:

,

(7.44)

где D = D₂ - D₁ = n₁ - n₂ - расстройка контуров.

Уравнение (7.44) совместно с первым и третьим уравнениями системы (7.43) образует замкнутую систему нелинейных ДУ. Для непосредственного решения эта система достаточно сложна, поэтому будем решать её методом вторичного упрощения укороченных уравнений (методом Хохлова). Для этого следует в полученной системе укороченных уравнений выделить свой малый параметр. Будем считать, что коэффициент связи генераторов достаточно мал, так что

,  .

В этом случае, вторые слагаемые в системе уравнении (7.43), содержащие a₁ или a₂ малы по сравнению с другими слагаемыми.

Таким образом, будем искать решение системы уравнений (7.43) с помощью разложения в ряд по малому параметру m и ограничиваясь линейными слагаемыми:

,  ,

(7.45)

где A₀, B₀ - амплитуды колебаний в несвязанных генераторах при m = 0. Из (7.43) и определения m можно просто получить следующие условия: . Тогда можно записать

,  .

Отсюда

,  .

(7.46)

В режиме синхронных колебаний система должна генерировать одну частоту w:

.

Эту частоту можно найти из второго и четвёртого уравнения системы (7.43):

.

(7.47)

В синхронном и стационарном режиме разность фаз генераторов F - постоянная величина, тогда из уравнения (7.44) следует, что

.

(7.48)

Подставляя это выражение в формулы (7.45), (7.46) и (7.47), можно найти амплитуду и частоту синхронных колебаний при заданной расстройки контуров D. Естественно, что в (7.48) cos(F) по модулю не должен быть больше единицы, тогда в правой части (7.48) числитель по модулю не может стать больше знаменателя. Поэтому нетрудно видеть, что существует критическая величина расстройки D_С, при которой становится невозможным синхронный режим (ширина полосы синхронного режима):

.

(7.49)

Нетрудно видеть, что если один генератор гораздо мощнее другого, то, в соответствии с формулами (7.45) и (7.46), амплитуда более мощного генератора при изменении расстройки почти не меняется. Таким образом, в данном случае мощный генератор затягивает на себя и генерирует частоту близкую к своей парциальной частоте, а маломощный генератор подстраивается под сильного соседа.

Явление затягивания используется для синхронизации генераторов, в частности, в лазерах при синхронизации мод.