Апериодическое звено

Апериодическимназывается звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

. (3.17)

Перейдем к его стандартному описанию, для чего разделим обе части (3.17) на коэффициент a₀ ,

, (3.18)

где - постоянная времени, - коэффициент передачи звена.

Заменив в (3.18) d/dt на p, перейдем к символической записи дифференциального уравнения,

(Tp+1)y = ku, (3.19)

и определим передаточную функцию апериодического звена:

. (3.20)

Его переходную характеристику можно найти как решение уравнения (3.18) при u=1(t) и y(0)=0,

h(t)=k(1- )1(t). (3.21)

Рис. 3.10. Переходная характеристика

Импульсную переходную функцию вычислим по соотношению:

g(t)= (t)= . (3.22)

Рис. 3.11. Импульсная переходная функция

Для определения модальных характеристик запишем характеристическое уравнение звена

A(p)=Тр+1=0 (3.23)

и вычислим его корень, р=-1/Т .

Выражение, соответствующее АФХ апериодического звена, имеет вид:

. (3.24)

Построим отдельно вещественную частотную характеристику по выражению

. (3.25)

Рис. 3.12. ВЧХ апериодического звена

Мнимую частотную характеристику апериодического звена строим по соотношению

. (3.26)

Рис. 3.13. МЧХ звена

Построим амплитудную частотную характеристику по выражению:

(3.27)

Рис. 3.14. АЧХ апериодического звена

ФЧХ звена определяется соотношением

(3.28)

Рис. 3.15. ФЧХ апериодического звена

На комплексной плоскости строим АФХ апериодического звена по выражению (3.24), которая имеет вид полуокружности и приведена на рис. 3.16.

Определим теперь логарифмическую амплитудную частотную характеристику в виде:

Рис. 3.16. АФХ апериодического звена

. (3.29)

Наиболее просто можно построить асимптотическую ЛАЧХ. В этом случае рассматривают отдельно области высоких (ОВЧ) и низких частот (ОНЧ) и для каждой определяют свою асимптоту:

1) ОНЧ: <<1/T, L( )=20lgk. (3.30)

2) ОВЧ: >>1/T, L( )=20lgk-20lg(T ). (3.31)

Частота 1/T называется собственной частотой апериодического звена.

На рис. 3.17 действительная ЛАЧХ показана пунктирной линией и несколько отличается от асимптотической, причем наибольшая погрешность будет на собственной частоте звена.

Рис. 3.17. ЛАЧХ апериодического звена

Форсирующее звено

(пропорционально - дифференцирующее)

Форсирующимназывается звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

y=k₁u+k₂ . (3.32)

Как видим, его можно представить как сумму пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Передаточная функция форсирующего звена,

,

записывается в стандартной форме

W(p)=k(1+Tp), (3.33)

где k - коэффициент усиления, T= - постоянная времени звена.

Вычислим его переходную характеристику

h(t- )= 1(t- )+ (t- ) (3.34)

и импульсную переходную функцию

g(t)= (t)= (t)+ (t). (3.35)

Рис. 3.18. Переходная характеристика

форсирующего звена

Запишем выражения для частотных характеристик.

АФХ: W(j )=k(1+ j ); (3.36)

ВЧХ: R( )=k ;

МЧХ: I( )=k ;

АЧХ: A( )=k ;

ФЧХ: ; ; (3.37)

ЛАЧХ: L( )=20lgk+10lg(1+T ). (3.38)

Асимптотическую ЛАЧХ форсирующего звена можно получить, рассматривая отдельно области низких и высоких частот, как в случае апериодического звена, или суммируя ЛАЧХ пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Рис. 3.19. ЛАЧХ форсирующего звена

Здесь - собственная частота звена.

АФХ форсирующего звена строится по выражению (3.36) и имеет вид, представленный на рис. 3.20.

Рис. 3.20 АФХ форсирующего звена

Звено 2-го порядка

Это звено, дифференциальное уравнение которого

, (3.39)

принято записывать в стандартном виде:

, (3.40)

где - постоянная времени звена; d - коэффициент демпфирования, который определяет склонность звена к колебаниям, ; - коэффициент усиления.

Передаточную функцию получим на основе символической записи дифференциального уравнения,

y + 2d py + y = ku,

в виде:

. (3.41)

Определим модальные характеристики по характеристическому уравнению

. (3.42)

Оно имеет два корня, которые в зависимости от коэффициента демпфирования могут быть вещественными и комплексно - сопряженными, что приводит к различным переходным процессам в звене.

1). Если , то корни уравнения (3.42) вещественные. Обозначим их через , и получим переходную функцию в виде:

. (3.43)

Рис. 3.21. Переходная характеристика звена 2-го порядка при

2). Если , то корни уравнения (3.42) будут комплексно - сопряженными, то есть (а при d = 0 вырождаются в ).

Рис. 3.22. Переходная характеристика звена при

В этом случае звено второго порядка называют колебательным. Его переходная характеристика следующая:

. (3.44)

Колебательность переходного процесса зависит от коэффициента демпфирования d: колебания будут тем больше, чем меньше d. При d=0 имеют место незатухающие колебания.

Определим частотные характеристики звена, заменив p на j в передаточной функции (3.41).

. (3.45)

Отсюда получим выражения для ВЧХ и МЧХ в виде:

, (3.46)

. (3.47)

При построении АФХ на комплексной плоскости необходимо рассматривать характерные точки:

.

Вид АФХ существенно зависит от k и d. При d=0 АФХ располагается на вещественной оси.

Рис. 3.23. АФХ звена второго порядка

На основе выражения

(3.48)

строится точная ЛАЧХ колебательного звена (при ). Его асимптотическую ЛАЧХ также можно построить, если рассматривать отдельно области высоких и низких частот и для каждой определить свою асимптоту:

ОНЧ: , L( )=L₁( )=20lgk. (3.49)

ОВЧ: , L( )=L₂( )=20lgk-40lg( ). (3.50)

Частота называется собственной частотой колебательного звена. Причем на этой частоте для асимптотической ЛАЧХ справедливо соотношение: .

Наибольшее отличие асимптотической ЛАЧХ от действительной наблюдается на собственной частоте и зависит от коэффициента демпфирования. При с достаточной точностью можно применять асимптотическую ЛАЧХ звена.

Рис. 3.24. Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена

Если d < 0,5 , то следует строить точную ЛАЧХ.

При d > 1 корни характеристического уравнения (3.42) будут вещественными, и передаточную функцию звена второго порядка (3.41) можно представить в виде произведения двух передаточных функций апериодических звеньев:

Рис. 3.25. Влияние d на ЛАЧХ звена

, (3.51)

где - постоянные времени апериодических звеньев. В этом случае асимптотическая ЛАЧХ звена второго порядка имеет два излома на частотах . Она может быть получена суммированием асимптотических ЛАЧХ двух апериодических звеньев.