Модель международной торговли.

Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соот­ношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т. е. не было дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможен­ные пошлины и даже торговые войны.

Для простоты изложения рассмотрим три страны-участницы торговли с государственными бюджетами Х₁, Х₂, Х₃, которые условно назовем США, Германия и Израиль. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри стра­ны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, 1/4 бюджета – на товары из Германии, оставшуюся 1/4 бюджета – на товары из Израиля. Германия тратит поровну свой бюджет на закупку товаров в США, внутри страны и у Израиля. Израиль, в свою очередь, тратит 1/2 бюджета на закупку товаров у США, 1/2 бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны.

Введем структурную матрицу торговли:

, (1.2.4)

где коэффициенты матрицы а_ij – часть госбюджета, которую j-я страна тратит на закупки товаров i-й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице.

После подведения итогов торговли за год страна под номером i получит выручку P_i = а_i1Х₁ + а_i2Х₂ + а_i3Х₃.

Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

P_i ³ Х _i, для всех i.

Справедливо следующее утверждение: условием бездефицитной торговли являются равенства P_i =Х _i, i = 1, 2, 3.

В матричной форме это утверждение выглядит следующим образом

АХ=Х или (А – Е)Х=0, (1.2.5)

где .

Решая систему (1.2.5) с матрицей (1.2.4) методом Гаусса, получим бесконечное множество решений:

Х₁=2Х₃, Х₂= 3/2Х₃,

где Х₃ принимает произвольное значение.

Это означает, что для сбалансированности торговли этих трех стран госбюджет США должен быть в 2 раза, а госбюджет Германии в полтора раза больше госбюджета Израиля.

Практический блок

Пример

Задание:

1) Найти объемы выпуска продукции по каждой из отраслей, предварительно обосновав сущность нестандартного решения.

2) Рассчитать новый план выпуска продукции, при условии, что конечный спрос на продукцию U-ой и -ой отраслей возрос соответственно на 85 и 97 единиц. Вычислить абсолютные и относительные приросты объема, выполненные по каждой из отраслей.

3) Скорректировать новый план, с учетом того, что отрасль не может увеличить объемы выпуска своей продукции более чем на 2 единицы.

4) Рассчитать матрицу полных затрат.

Исходные данные:

, , .

0) Проверим матрицу А на продуктивность:

Матрица А является продуктивной матрицей.

1) (I-A) =

J – единичная матрица;

A – заданная матрица прямых затрат;

– вектор (план) выпуска продукции, подлежащей определению;

– вектор конечного спроса.

Произведем расчеты, используя метод Гаусса.

; ;

;

;

;

Решая систему, получим:

2)

;

;

Решение:

3) Скорректировать новый план, с учетом того, что отрасль не может увеличить объем выпуска своей продукции, более чем на 2 единицы.

Подставляя значение в исходную систему уравнений, получим:

;

;

;

Решаем систему уравнений методом Гаусса:

4) Рассчитаем матрицу полных затрат.

Произведем обращение матрицы:

.

Тесты

1. Какое матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель Леонтьева:

a) (E – A)*X = C; б) A*X = X; в) A*X = E.

2. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А:

a) (E – A)*X = Y; б) A*X = B; в) |A - lE| = 0.

3. В основе математического обеспечения статической модели МОБ лежит:

а) математическая статистика;

б) линейная алгебра;

в) теория графов.

4. Коэффициент прямых затрат а_ij характеризует:

а) количество валовой продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы конечной продукции j- й отрасли;

б) количество валовой продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли;

в) количество конечной продукции i-й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли.

5. Матрица прямых затрат А характеризует в экономике:

а) динамику финансовых процессов;

б) динамику технологических процессов;

в) воспроизводственные процессы.

6. Коэффициент полных затрат b_ij показывает:

а) объём валовой продукции i -й отрасли, необходимый для производства единицы конечной продукции j- й отрасли;

б) количество конечной продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли.

в) объём валовой продукции i -й отрасли, необходимый для производства единицы валовой продукции j- й отрасли;

7. Коэффициенты прямых материальных затрат рассчитываются:

a) ; б) ; в) .

8. Экономико–математическая модель Леонтьева в матричной форме имеет вид:

а) Х = ВХ + Y; б) Х = (Е-А)^-1Y; в) Х = АХ + Y.

9. Межотраслевой баланс отражает:

а) производство и распределение валового национального продукта по отраслям;

б) межотраслевое распределение национальной валюты;

в) использование материальных и трудовых ресурсов.

10. Первый квадрант МОБ отражает:

а) отраслевую материальную структуру национального дохода;

б) межотраслевые потоки валовой продукции;

в) конечное распределение и использование национального дохода.

Ответы к тестам

Контрольные вопросы

1.Основные положения межотраслевого баланса.

2. Основные элементы межотраслевого баланса.

3. Балансовые соотношения межотраслевого баланса.

4. Матрица прямых затрат межотраслевого баланса.

5. Модель межотраслевого баланса Леонтьева: постановка.

6. Матрица полных затрат межотраслевого баланса.

7. Особенности модели Леонтьева многоотраслевой экономики.

8. Записать матрицы прямых и полных затрат в модели Леонтьева.

9. При каких условиях модель Леонтьева продуктивна?

10. Что такое векторы конечного и валового продукта в модели Леонтьева?

11. Опишите методику решения прямой и обратной задачи в модели Леонтьева.

12. Какой смысл имеют коэффициенты технологической матрицы А модели Леонтьева?

13. Условия продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

14. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса.

15. Модель равновесных цен.

16. Модель международной торговли.

Задания и задачи

Задача 1. Плановый межотраслевой баланс.

Общественное производство состоит из восьми отраслей. Задана матрица коэффициентов прямых затрат:

0,01 0 0,12 0,03 0,07 0,14 0,12 0,01

0,22 0,08 0,06 0,13 0,14 0 0,18 0,03

0,03 0,09 0,14 0 0,02 0,05 0 0,04

0 0,08 0,07 0,05 0,03 0,09 0,08 0,04

0,08 0,04 0 0,14 0,01 0,03 0,08 0,09

0,03 0 0,02 0,13 0,12 0,4 0,03 0

0,19 0,3 0,15 0,09 0 0,09 0,14 0,06

0 0,04 0,07 0,08 0,17 0,04 0,18 0

Задание 1. По заданной конечной продукции рассчитать валовую.

Задание 2. В таблице заданы валовые продукты отраслей.

Рассчитать конечные продукты отраслей. Для этого в системе уравнений все величины X₁ ,..., X₈ необходимо заменить на значения из приведенной выше таблицы, а численные значения конечной продукции – на символы y₁, ... , y₈. Решение полученной системы уравнений дает значения конечных продуктов отраслей.

Задача 2. Модель межотраслевого баланса

а) Найти объемы выпуска продукции по каждой из отраслей, предварительно обосновав сущность нестандартного решения.

б) Рассчитать новый план выпуска продукции, при условии, что конечный спрос на продукцию U-ой и V-ой отраслей возрос соответственно на 85 и 97 единиц. Вычислить абсолютные и относительные приросты объема, выполненные по каждой из отраслей.

в) Скорректировать новый план, с учетом того, что отрасль не может увеличить объемы выпуска своей продукции более чем на 2 единицы.

г) Рассчитать матрицу полных затрат.

Исходные данные:

A =

0.02 0.01 0.01 0.05 0.06

0.03 0.05 0.02 0.01 0.01

0.09 0.06 0.04 0.08 0.05

0.06 0.06 0.05 0.04 0.05

0.06 0.04 0.08 0.03 0.05

C =

, V=2, .

Задача 3.Оптимизационная модель межотраслевого баланса.

Зная запасы дополнительных ресурсов (r), нормы их затрат (D) на производство продукции каждой отрасли и цены реализации конечной продукции (p), рассчитать объемы производства продукции, обеспечивающие максимальный фонд конечного спроса. Вычислить конечный спрос и провести анализ полученного решения:

1) относительно оптимальности;

2) статуса и ценности ресурсов;

3) чувствительности.

Рассчитать объем производства.

Исходные данные:

D =

0.3 0.6 0.5

0.6 0.6 0.9

0.5 0.8 0.1

0.9 0.4 0.8

1.1 0.2 0.7

= 564

р= (121 164 951 254 168).

Требуется максимизировать цену конечного спроса.

Задача 4. Дан вектор

Y= конечного продукта и матрица,

A= межотраслевого баланса.

Найти вектор валового выпуска Х.

Задача 5. Разработка межпродуктового баланса производства и распределения продукции предприятия

В трех цехах приборостроительного завода изготовляются датчики, приборы и их узлы, основная часть которых идет на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом и поставляется внешним приборостроительным и машиностроительным организациям, а также в ремонтные мастерские.

Требуется составить межпродуктовый баланс производства и распределения продукции, если известны коэффициенты прямых затрат и конечный продукт.

Исходные данные

Задача 6. На основании данных, приведенных в нижеследующей таблице, восстановить схемы межотраслевого материального баланса.

Задача 7. Рассчитать коэффициенты полных материальных затрат

А =

Задача 8. Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат

А =

Задача 9. Убедиться, что модель Леонтьева продуктивна. Для нового вектора валового выпуска X = найти вектор конечного продукта. Найти вектор валового выпуска для нового вектора конечного продукта

Значения

Y = .