Перекрестные коэффициенты эластичности.

В 1.1.2 было введено понятие эластичности функции одной переменной. Аналогично вводится понятие эластичности фун­кции нескольких переменных. Пусть, например, z =f(x, у) – функция двух переменных.

Е_zx –коэффициент эластичности z по х показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении х на один процент. Е_zу – коэффициент эластичности z по у показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении y на один процент.

Из определения вытекают следующие формулы:

(1.1.2)

Пример1.1.2. Найти коэффициенты эластичности по х и по у функции z= x^y в точке (2;3).

Согласно формулам (1.1.2) имеем

Е_zx(х,у) = x(lnz)'_x = x(ylnx)'_x= у,

E_zy(x,y) = y(lnz)'_y = y(ylnx)'_y =уlnх.

Следовательно, Е_zx(2,3) =3, Е_zy(2;3) = 3ln 2.

Формулы (1.1.2) полностью аналогичны формулам, которые использовались при выводе свойств 1–3 эластичности в 1.1.2. По­этому первые три свойства эластичности справедливы и в случае функции нескольких переменных. Четвертое и пятое свойства также сохраняются, но формы их записи становятся сложнее. Ос­тановимся подробнее на этих свойствах.

Свойство 4'. Для функций z =f(x, у), х = j(t) и у = y(t) эластичность z no t в точке t₀ находится по формуле

Е_zt = Е_zxЕ_xt + Е_zyЕ_yt , (1.1.3)

где Е_zx, Е_zy – эластичности z по х и у в точке (j(t₀), y(t₀)), а Е_xt, Е_yt –эластичности х и у по t в точке t₀.

Для любой пары функций у₁=f₁(х₁, х₂), y₂=f₂(x₁, x₂) имеем 4 коэффициента эластичности, которые запишем в матрицу размера 2х2:

Элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, называютсяперекрестными коэффициентами эластичности.

Свойство 5'.Пусть х₁=g₁(y₁, y₂), x₂=g₂(y₁, y₂) – пара обратных функций для функций у₁=f₁(х₁, х₂), y₂=f₂(x₁, x₂). Тогда матрица коэффициентов эластичности Е_xy является об­ратной к матрице Е_yx.

Коэффициенты эластичности используются при анализе функ­ций спроса при любом числе различных товаров. В качестве при­мера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть х_i – количе­ство i-го товара, р_i – его цена (i= 1,2). Для пары дополняющих товаров (например, чай и сахар) или заменяющих товаров (напри­мер, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каж­дый товар зависит от обеих цен р₁ и р₂:

х₁=D₁(p₁, p₂), x₂=D₂(p₁, p₂) (1.1.4)

Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напро­тив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (1.2.4) можно разрешить относительно р₁ и р₂ в следую­щем виде:

p₁=p₁(х₁, х₂), p₂=p₂(x₁, x₂). (1.1.5)

Системы (1.1.4) и (1.1.5) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5' матрица коэффициентов эластич­ности цен по спросу может быть найдена как обратная матрица коэффициентов эластич­ности спроса по цене.

Пример1.1.3. Пусть х₁=10p₁^-1.2 p₂^0.8, x₂=12p₁^-0.9p₂^-0.7. (x₁ – маргарин, x₂ – масло). Коэффициенты эластичности составят матрицу

Спрос на маргарин неэластичный, на масло – эластичный, перекрестные коэффициенты эластичности показывают, что маргарин заменяет масло – повышение цены на масло на 1% ведет к повышению спроса на маргарин на 0.8%. Чтобы получить коэффициенты эластичности цены по спросу Е_ху,достаточно найти обратную матрицу Е_уx^-1.