Реологические модели

В реологии механические свойства материалов представляют в виде реологических моделей, в основе которых лежат три закона, связывающих напряжение сдвига и деформацию. Им соответствуют 3 идеальных модели идеализированных материалов, отвечающих таким свойствам, как упругость, пластичность, вязкость:

1. Идеальное упругое тело Гука^(*)

Его можно представить в виде пружины

Р Р=Е γ (4.1),

Е-модуль упругости Юнга, характеризует

L упругие свойства тела: Е_крист.=10⁹Па, Е_мет=10¹¹ Па.

Р

Рис.4.2. Модель упругого тела Гука

Е=ctg ; γ=Р/Е (4.2)

Реологическая кривая представлена на рис. 4.3:

γ

α

Р

Рис.4.3. Реологическая кривая упругого тела Гука

2. Идеальное вязкое тело Ньютона^(*) представляет собой поршень с отверстиями, помещенный в цилиндр с жидкостью

Р

Р

Рис. 4.4.Модель идеально вязкого тела Ньютона

Идеально вязкая жидкость течет в соответствии с законом Ньютона:

Ньютоновскими жидкостями называют системы, течение которых подчиняется закону Ньютона:

Напряжение сдвига при ламинарном течении жидкости с вязкостью η пропорциональна градиенту ее скорости.

(4.3)

Здесь P - напряжение сдвига, вызывающее течение жидкости; dU/dx - градиент скорости, т.е. различие в скоростях ламинарного течения двух слоев жидкости, отстоящих друг от друга на расстоянии х, отнесенное к этому расстоянию; h - коэффициент вязкости, который для краткости называют вязкостью (динамической вязкостью). Величину h/r называют кинематической вязкостью, где r - плотность жидкости.

Вязкость характеризует способность тел оказывать сопротивление внешнему напряжению, вызывающему течение.

Физический смысл коэффициента вязкости – вязкость равна силе трения между слоями жидкости при площади соприкасающихся слоев жидкости равной 1 м² и градиенте скорости, равном 1.

Чем больше вязкость тела, тем «неохотнее», т.е. с меньшей скоростью оно течет под действием одного и того же напряжения.

В системе СИ значения h выражают в Па×с. Для газов вязкость изменяется в пределах: 1 - 100 мкПа×с, для воды при 20⁰С h = 1мПа×с. Часто используют и внесистемную единицу измерения вязкости - пуаз [П] = [г/(см×с)], вязкость воды при 20⁰С равна 0,01П или одному сантипуазу (сП), равному 10 Па с.

Рассмотрим понятие градиента скорости. Представим жидкость, ламинарно текущую под действием силы тяжести при плоскопараллельном течении через цилиндрический капилляр со скоростью U. Однако не вся жидкость течет с одной скоростью, скорость потока максимальна в центре капилляра, а к стенкам капилляра потоки жидкости текут с меньшей скоростью из-за адгезии к стенкам сосуда.

Скорость движения слоя, непосредственно прилегающего к стенке (слой Прандтля), за счет сил адгезии равна нулю, тогда как центральный слой жидкости движется с максимальной скоростью. Возникает градиент скорости в направлении, перпендикулярном направлению движения жидкости (при Dx à 0 градиент равен ). Градиент скорости возникает из-за того, что между слоями жидкости действуют силы внутреннего трения, противодействующие перемещению молекул относительно друг друга (один слой тормозит движение соседних и т.д.).

Рис.4.5. Эпюра скоростей текущей в капилляре жидкости

Если для каждого слоя изобразить направление и скорость течения вектором и соединить концы, получим эпюру скоростей в капилляре.

Если скорость движения обозначить dy/dt , а y и t - независимые переменные, изменим порядок дифференцирования:

dU /dx = d²y/ (dt dx)= dγ /dt = - скорость развития деформации. Поэтому для ньютоновских жидкостей справедливо:

и (4.4.)

Согласно уравнению течения, для ньютоновских жидкостей наблюдается линейная зависимость dU/dx от Р. Таким образом, вязкость ньютоновских жидкостей не зависит от напряжения сдвига, она равна котангенсу угла наклона прямых в указанных координатах (графический смысл коэффициента вязкости). При ламинарном течении на вязкость η ньютоновских жидкостей влияет лишь температура.

Зависимость реологических свойств от различных факторов выражают в виде реологических кривых (кривых течения): h = f(p) или dU/dx = f(p).

Согласно (4.2) для ньютоновских жидкостей наблюдается линейная зависимость dU/dx (рис.4.6).

Рис.4.6. Реологические кривые для ньютоновских жидкостей

Это означает, что вязкость ньютоновских жидкостей не зависит от напряжения сдвига, и равна котангенсу угла наклона (a) прямой на рис.4.6; при ламинарном их течении h зависит лишь от температуры и природы жидкости.

В свою очередь деформация γ ньютоновских жидкостей линейно зависит от времени развития при постоянной нагрузке : γ=(Р/ η) t

γ

t

Рис.4.7. Кинетика развития деформации для ньютоновских жидкостей

Измерить величину динамической вязкости можно различными способами, например, по скорости вытекания жидкости из капилляров.

Пуазейль⁽⁵⁴⁾ получил эмпирическое уравнение, согласно которому объем жидкости, вытекающий из капилляра, зависит как от параметров капилляра – длины l и диаметра r, так и давления P, под которым она продавливается через капилляр, вязкости жидкости η и времени вытекания t:

(4.5)

Обозначим постоянные для данного вискозиметра параметры через k. Для ньютоновской жидкости при постоянном объеме вязкость

(4.6)

и определяется только по времени вытекания из капилляра.

3. Модель идеально-пластического тела Сен-Венана-Кулона^(**)

Р Модель представляет собой твердое тело на плоскости, при движении которого возникает постоянное трение, не зависящее от нормального напряжения сдвига – закон «сухого трения»: деформация отсутствует, если Р<Р_т

Р (где Р_т – предел текучести).

Рис.4.8. Модель идеально-пластического тела Сен-Венана-Кулона

Таким образом, при Р<Р_т γ=0, g¢=0

при Р=Р_т γ>0, g¢>0, течение идет с любой скоростью

γ

Р

Рис. 4.9. Реологическая кривая модели Сен-Венана-Кулона

К элементу «сухого трения» нельзя приложить напряжение Р>Р_т, тело разрушается, сопротивление отсутствует.

4. Модель реального тела. Модель Бингама^(*)– вязкопластическое тело

При последовательном соединении элементов

Р₁=Р₂=Р₃=Р_н

γ₁= γ₁+ γ₂ +γ₃

= g¢₁+ g¢₂ +g¢₃

При параллельном соединении элементов

Р=Р₁+Р₂+Р₃ +Р_н

γ₁= γ₁= γ₂ =γ₃

g¢= g¢₁= g¢₂ =g¢₃

.

Рис. 4.10. Модель Бингама: параллельное соединение жидкостного элемента(поршень в цилиндре) и тела Сен-Венана

γ g¢

Р_т Р Р_т Р

Рис.4.11. Реологические кривые модели Бингама

Закон Бингама: Р = Р_т +h¢ g¢, (4.7)

причем Р включает две составляющие: разрушающее структуру и вызывающее течение.

По физическому смыслу h и h¢ отличаются, т.к.

h= h¢ + Р_{т /}g¢ = , (4.8)

ньютоновская вязкость учитывает все сопротивления течению, а пластическая не учитывает прочность структуры, но отражает скорость разрушения, в основном вязкостью дисперсионной среды, которая может меняться в широких пределах. Например, для газов вязкость равна примерно 10^-5 Па с , для стекол и твердых тел – 10¹⁵ - 10²⁰ Па с и более.

Течение такой системы начинается лишь тогда, когда напряжение сдвига превысит какое-то определенное критическое значение P_Т, необходимое для разрушения структуры. Такое течение Бингам назвал пластическим, а напряжение сдвига P_Т - пределом текучести. С точки зрения реологии такие системы называют пластично - вязкими, и закономерности их течения описываются уравнением Бингама.

При отсутствии структурной сетки значение P_Т = 0 и уравнение Бингама переходит в уравнение Ньютона, а пластическая вязкость - в истинную вязкость ньютоновской жидкости. Графическое изображение уравнения Бингама представлено на рис.4.11.

Рис.4.12. Кривая течения бингамовской (а) и реальной пластично-вязкой системы (б).

Согласно рис.4.12, при нагрузках, превышающих Р_т, происходит скачкообразное разрушение структуры, и пластическая вязкость принимает постоянное значение:

(4.9)

Примером систем, хорошо подчиняющихся уравнению Бингама, могут служить пасты из глины и консистентные смазки. Однако для большинства структурированных систем зависимость dU/dx от P выражается не прямой, а кривой (рис.4.12.б). Причина этого явления заключается в том, что при достижении предела текучести структура разрушается не сразу, а постепенно по мере увеличения Р и dU/dx.

На кривой можно выделить три критических напряжения сдвига:

1) P_n - минимальный предел текучести, соответствующий началу течения; 2) P_т - предел текучeсти по Бингаму, отвечающий отрезку на оси абсцисс, отсекаемому продолжением прямолинейного участка кривой;

3) P_m - максимальное напряжение сдвига, соответствующее значению P, при котором кривая переходит в прямую линию.

В области кривой (P_n - P_m) вязкость не является постоянной величиной и по мере увеличения P уменьшается. При P > P_m структура жидкости разрушается полностью и вязкость принимает постоянное наименьшее для данной системы значение.

Лекция 9.