Дискриминантный анализ (ДА)

ДА позволяет предсказать принадлежность объектов к двум или более непересекающимся группам.

Исходными данными для ДА является множество объектов, разделенных на группы так, что каждый объект может быть отнесен только к одной группе. Допускается при этом, что некоторые объекты не относятся ни к какой группе (являются «неизвестными»). Для каждого из объектов имеются данные по ряду количественных переменных. Такие переменные называются дискриминантными переменными, или предикторами.

Задачами ДА является определение: 1) решающих правил, позволяющих по значениям предикторов отнести каждый объект (в том числе и «неизвестный») к одной из известных групп; 2) «веса» каждого предиктора для разделения объектов на группы.

ДА основан на составлении уравнения регрессии, использующего номинативную зависимую переменную.

Этапы ДА

ДА состоит из четырех основных этапов.

1. Выбор переменных-предикторов. Исследователь использует свои теоретические знания, практический опыт, догадки и т. п. для того, чтобы составить список переменных, которые могут повлиять на результат группировки (переменную-критерий).

2. Обычно на начальном этапе ДА для предикторов формируется корреляционная матрица. В данном контексте она имеет особый смысл, называется общей внутригрупповой корреляционной матрицей и содержит средние коэффициенты корреляции для двух или более корреляционных матриц (каждая для одной группы). Помимо общей внутригрупповой корреляционной матрицы можно также вычислить ковариационные матрицы для отдельных групп, для всей выборки либо общую внутригрупповую ковариационную матрицу. Нередко исследователи применяют серию t-критериев между двумя группами для каждой переменной либо однофакторный дисперсионный анализ, если число групп оказывается больше двух. Поскольку целью дискриминантного анализа является составление наилучшего уравнения регрессии, дополнительный анализ исходных данных никогда не является лишним.

3. Выбор параметров. В этом разделе будет продемонстрирован один из методов ДА. По умолчанию программа реализует метод, который основан на принудительном включении в регрессионное уравнение всех предикторов, указанных исследователем. В нашем случае используется метод Уилкса (Wilks), относящийся к категории пошаговых методов и основанный на минимизации коэффициента Уилкса (λ) после включения в уравнение регрессии каждого нового предиктора.

4. Интерпретация результатов. Целью ДА является составление уравнения регрессии с использованием выборки, для которой известны значения и предикторов, и критерия. Это уравнение позволяет по известным значениям предикторов определить неизвестные значения критерия для другой выборки. Разумеется, точность рассчитываемых значений критерия для второй выборки в общем случае не выше, чем для исходной. Так, в нашем примере регрессионное уравнение обеспечило около 90% корректных результатов для той выборки, с помощью которой оно было создано. Соответственно, точность предсказания успешности обучения для 10 абитуриентов может достигать 90% лишь в том случае, если выборка претендентов совершенно идентична тем 46 учащимся, данные для которых послужили основой для прогноза.

´Задача 3.3[7]. Для решения требуется программа SPSSи файл данных DA-FA-KA.sav. Файл DA-FA-KA.sav содержит данные о 46 учащихся (объекты с 1-го по 46-й), закончивших курс обучения, в отношении которых известны оценки успешности обучения: «зачет» – 1, «незачет» – 0. Кроме того, в файл включены данные предварительного тестирования этих учащихся до начала обучения (13 переменных):

► и1, и2, ..., и11 – показатели теста интеллекта;

► э_и – показатель экстраверсии по тесту Г. Айзенка;

► н – показатель нейротизма по тесту Г. Айзенка.

Для 10 абитуриентов (объекты с 47-го по 56-й) известны лишь результаты их предварительного тестирования (13 перечисленных переменных). Значения переменной оценка для них еще неизвестны и в файле данных им соответствуют пустые ячейки. Требуется спрогнозировать успешность обучения 10 абитуриентов на основе предварительного тестирования в предположении, что выборки закончивших обучение и абитуриентов идентичны.

1. Откройте файл данныхDA-FA-KA.sav.

2. В меню Analyze(анализ) выберите команду Classify ► Discriminant (классификация > дискриминантный анализ). На экране появится диалоговое окно Discriminant Analysis (дискриминантный анализ) (рис. 3.5).

3. Переместите переменную оценка в поле Grouping Variable (группирующая переменная). Щелкните па кнопке Define Range (задать диапазон), чтобы открыть диалоговое окно Discriminant Analysis: Define Range (дискриминантный анализ: Задание диапазона) (рис. 3.6). В поле Minimum(минимум) введите значение 0, в поле Maximum (максимум), введите значение 1 и щелкните на кнопке Continue(продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Discriminant Analysis (дискриминантный анализ).

4. Переменные от и1 до н переместите в список Independents (независимые переменные), установите переключатель Use stepwise method (использовать пошаговый метод).

5. Щелкните на кнопке Statistics (статистики), чтобы открыть диалоговое окно Discriminant Analysis: Statistics (дискриминантный анализ: статистики) (рис. 3.7). Установите флажки Means(средние), Box's M (М Бокса), Univariate ANOVAs (однофакторный дисперсионный анализ), Unstardardized (нестандартизированные коэффициенты) и щелкните на кнопке Continue(продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Discriminant Analysis (дискриминантный анализ).

6. Щелкните па кнопке Method(метод), чтобы открыть диалоговое окно Discriminant Analysis: Stepwise Method (дискриминантный анализ: пошаговый метод) (рис. 3.8). В поле Entry(ввод), введите значение 1,125, в поле Removal(вывод), введите значение 1 и щелкните на кнопке Continue (продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Discriminant Analysis(дискриминантный анализ).

7. Щелкните на кнопке Classify(классификация), чтобы открыть диалоговое окно Discriminant Analysis: Classification (дискриминантный анализ: классификация) (рис. 3.9). Установите флажки Casewise results (результаты для объектов), Summary table (итоговая таблица) и щелкните на кнопке Continue (продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Discriminant Analysis (дискриминантный анализ).

8. Щелкните на кнопке ОК, чтобы открыть окно вывода.

В результате выполнения приведенных инструкций будут сгенерированы коэффициенты (Canonical Discriminant Function Coefficients) для группировки интересующих нас объектов в целях прогнозирования: На основе этих данных можно составить уравнение регрессии

(0/1) = – 9,865 + 0,382 (счет в уме) – 0,241 (умозаключения) +

+ 0,214 (понятливость) + 0,185 (аналогии) + 0,162 (скрытые фигуры) +

+ 0,157 (заучивание слов) + 0,097 (экстраверсия)

или

(0/1) = – 9,865 + 0,382 (и4) – 0,241 (и9) + 0,214 (и5) + 0,185 (и7) + 0,162 (и2) + 0,157 (и11) + 0,097 (э_и).

3.4. Факторный анализ (ФА);

За последние 30–40 лет ФА приобрел значительную популярность в психологических и социальных исследованиях. Во многом этому способствовала разработка Раймондом Кеттеллем знаменитого 16-факторного личностного опросника (16PF). Именно при помощи ФА ему удалось свести около 4500 наименований личностных особенностей к 187 вопросам, которые, в свою очередь, позволяют измерить 16 различных свойств личности.

ФА дает возможность количественно определить латентные переменные, которые непосредственно измерить невозможно, исходя из нескольких доступных измерению явных переменных. Например, явные характеристики «посещает развлекательные мероприятия», «много разговаривает», «охотно идет на контакт с любым незнакомым человеком» могут служить оценками латентного качества «общительность», которое непосредственно не поддается количественному измерению. ФА позволяет выделить для большого числа признаков сравнительно узкий набор «свойств», объединяющих более тесно связанные признаки в группы и называемые факторами.

Процедура ФА состоит из четырех основных стадий:

1. Вычисление корреляционной матрицы для всех переменных, участвующих в анализе.

2. Извлечение факторов.

3. Вращение факторов для создания упрощенной структуры.

4. Интерпретация факторов.

Первые три операции кратко рассматриваются в следующих примерах; последняя операция описывается лишь на концептуальном уровне.

´Задача 3.4[7]. Для решения требуется программа SPSSи файл данныхDA-FA-KA.sav.

1. Откройте файл данных DA-FA-KA.sav.

2. В меню Analyze(анализ) выберите команду Data Reduction ► Factor (сокращение данных > факторный анализ). На экране появится диалоговое окно Factor Analysis (факторный анализ) (рис. 3.10). Переместите переменные и1 – и11 в список Variables (переменные).

3. Щелкните на кнопке Rotation (вращение), чтобы открыть диалоговое окно Factor Analysis: Rotation(факторный анализ: вращение) (рис. 3.11). В группе Method(метод) установите переключатель Varimax и щелкните на кнопке Continue(продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Factor Analysis (факторный анализ).

4. Щелкните на кнопке ОК, чтобы открыть окно вывода.

При выполнении этого шага проводится факторный анализ, включающий следующие операции: 1) вычисление корреляционной матрицы для 11 переменных, задействованных в анализе; 2) извлечение 11 факторов методом главных компонентов; 3) выбор для вращения всех факторов, чьи собственные значения не меньше 1; 4) вращение факторов по методу Varimax; 5) вывод матрицы преобразования факторов.

´Задача 3.5[7]. Для решения требуется программа SPSSи файл данныхDA-FA-KA.sav. В этом примере проводится факторный анализ с участием тех же 11 переменных, что и в предыдущем случае, но задаются дополнительные параметры. Включены в вывод одномерные описательные статистики всех переменных, коэффициенты корреляции, а также критерий многомерной нормальности и адекватности выборки. Для извлечения факторов используется метод главных компонентов, а для отображения – график собственных значений. Вращение факторов производиться методом Varimax, а благодаря установке флажка Loading plot(s) (диаграммы нагрузок), отображена факторная структура после вращения. Переменные сортируются по величине их нагрузок по факторам.

1. Откройте файл данныхDA-FA-KA.sav.

2. В меню Analyze(анализ) выберите команду Data Reduction ► Factor (сокращение данных > факторный анализ). На экране появится диалоговое окно Factor Analysis (факторный анализ) (см. рис. 3.10). Переместите переменные и1 – и11 в список Variables (переменные).

3. Щелкните на кнопке Descriptives(описательные статистики), чтобы открыть диалоговое окно Factor Analysis: Descriptives (факторный анализ: описательные статистики) (рис. 3.12). В группе Statistics (статистики) установите флажок Univariate Descriptives (одномерные описательные статистики), в группе Correlation matrix (корреляционная матрица) – флажки Coefficients(коэффициенты) и КMО and Barlett's Test of sphericity (критерии КМО и сферичности Барлетта) и щелкните на кнопке Continue(продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Factor Analysis (факторный анализ).

4. Щелкните на кнопке Extraction(извлечение), чтобы открыть диалоговое окно Factor Analysis: Extraction (факторный анализ: извлечение) (рис.3.13). Установите флажок Scree Plot (график собственных значений) и щелкните на кнопке Continue(продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Factor Analysis (факторный анализ).

5. Щелкните на кнопке Rotation(вращение), чтобы открыть диалоговое окно Factor Analysis: Rotation (факторный анализ: вращение) (рис. 3.11). В группе Method(метод) установите переключатель Varimax, в группе Display (отображать) – флажок Loading plot(s) (диаграммы нагрузок) и щелкните на кнопке Continue(продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Factor Analysis (факторный анализ).

6. Щелкните па кнопке Options(параметры), чтобы открыть диалоговое окно Factor Analysis: Options (факторный анализ: параметры), показанное на рис. 3.14. Установите флажок Sorted by size (сортировать по величине) и щелкните на кнопке Continue(продолжить), чтобы вернуться в диалоговое окно Factor Analysis (факторный анализ).