Непараметрические критерии

Считается, что критерий U-Манна-Уитни самый простой ранговый критерий (в отечественной литературе этот критерий иногда называют также критерий Вилкоксона для независимых выборок или критерием Уайта).

Применение критерия U-Манна-Уитни основано на единственном предположении: выборки получены из однотипных непрерывных распределений. При этом вид распределения генеральных совокупностей X и Y никак не оговаривается. Допущение о непрерывности распределений может быть принято, когда исследуемый признак имеет большое число возможных градаций. Гипотеза Но: F(x) = F(y) – это утверждение о том, что функции распределения обеих генеральных совокупностей одинаковы. Иначе говоря, обе выборки получены из одной и той же генеральной совокупности и эффект обработки отсутствует.

Поясним это более подробно. Поскольку функции распределения F(х) и F(у) равны, то, следовательно, равны и характеристики положения этих распределений (среднее значение и медиана). Поэтому, если эффект оценивается по различию средних арифметических двух выборок, то нулевую гипотезу можно было бы записать в виде Но: μ_x = μ_y. В этом случае критерий U-Манна-Уитни является непараметрическим аналогом t-критерия для независимых выборок.

Ниже рассматривается применение критерия U-Манна-Уитни на конкретном примере.

´Задача 2.25[17]. Результаты в беге на 100 м контрольной и экспериментальной групп студентов вузов на занятиях по физической культуре:

Для проверки правильности этих операций можно использовать тот факт, что сумма всех рангов: R_X + R_Y = n(n + 1)/2 = 20(20+1)/2 = 210.

5. Меньшую из сумм рангов (в данном случае R_Y = 82,5) принимаем в качестве значения критерия U-Манна-Уитни.

6. Из П 3.6 находим критическое значение критерия U-Манна-Уитни при уровне значимости p = 0,05 и при объемах выборки n₁ = 10 и n₂ = 10: U_p = 78.

7. Вывод: если U ≤ U_p различие считается статистически значимым на уровне значимости p (нулевая гипотеза отбрасывается). В противном случае различие статистически незначимо, как в данном случае: 82,5 ≥ 78.

Сравнение двух связанных выборок

(критерий W-Вилкоксона)

Критерий W-Вилкоксона для связанных выборок является непараметрическим аналогом t-критерия.

´Задача 2.26[17]. У группы школьников (n=10) до (x_i) и после (y_i) пребывания в спортивном лагере измеряли жизненную емкость легких (ЖЕЛ)

5. Отмечаем ранги, относящиеся к положительным и отрицательным значениям разностей.

6. Находим по отдельности суммы рангов отрицательных, и положительных разностей R (–) и R (+). Суммы рангов: R (+) = 2,5; R (–) = 42,5.

7. Контроль: R (+) + R (–) = 2,5 + 42,5 = 9(9 + 1)/2 = 45.

8. Меньшую из сумм рангов принимаем в качестве значения критерия W. Для нашего примера W = R (+) = 2,5.

9. Из П 3.7. находим критическое значение W_p критерия W-Вилкоксона при уровне значимости p =0,05 и n =10, W =7.

10. Вывод: если W< W_p, то Н₀ отбрасывается и различие связанных выборок является статистически значимым на уровне значимости р. В противном случае различия статистически незначимы. Для нашего примера W < W_0,05, поэтому различия статистически значимы на уровне значимости p ≤ 0,05.