Представление вещественных чисел

Для представления вещественных чисел используется формат с плавающей точкой. Вещественные числа всегда рассматриваются как числа со знаком. Разрядная сетка имеет строго фиксированное число разрядов.

В основе формата лежит представление чисел в экспоненциальной (научной) форме. Число в этой форме записывается в виде мантиссы и порядка:

A = ± M·S ^{± P},

где M – мантисса,

S– основание системы счисления,

p – порядок.

Пример. A_[10] = 0.0225·10³ = 0.225·10² = 2.25·10¹ = 22.5·10⁰ =225·10^-1 = 22.5

В формате с плавающей точкой кодируется: мантисса, порядок, знак числа и знак порядка. На каждую из кодируемых компонент отводится строго фиксированное число разрядов. Основание системы счисления заранее оговаривается и не кодируется.

Фиксированная по длине мантисса позволяет закодировать ограниченное количество значащих цифр. Поэтому вещественные числа в общем случае хранятся и обрабатываются с определенной степенью точности. Точность определяется способом кодировки мантиссы, а диапазон чисел – способом кодировки порядка.

Способ кодировки мантиссы и порядка в различных ЭВМ может быть разным. Отметим общие подходы при кодировании вещественных чисел.

Кодируемое число предварительно нормализуется. За счет сдвига мантиссы и изменения порядка добиваются выполнения условия

S^-1£|M|<1. ( 1)

В рассмотренном примере этому условию соответствует запись числа в виде A_[10] = 0.225·10².

В нормализованном числе целая часть мантиссы будет нулем, а старшая цифра дробной части будет отличной от нуля. Этот прием позволяет отказаться от хранения целой части и закодировать в мантиссе максимально возможное количество значащих цифр, то есть добиться максимальной точности. Мантисса записывается в прямом коде, причем знак мантиссы (он же знак числа) заносится в старший разряд. Знак положительного числа кодируется как 0, а знак отрицательного – как 1.

Порядок кодируется в виде так называемой характеристики. Характеристика Z представляет собой смещенный порядок: Z = P + D. Величина смещения D подбирается так, чтобы характеристика для минимального порядка была равна нулю. Этот прием позволяет использовать в качестве характеристики число без знака и не кодировать специально знак порядка. Обобщенный вид формата с плавающей точкой показан на рисунке:

n-1 0 m-1 0

Знак числа

Характеристика

Мантисса

Типичные для персональных ЭВМ варианты формата с плавающей точкой приведены в таблице 3.

Таблица 3

Отличия в кодировании вещественных чисел для разных ЭВМ носят количественный и качественный характер. Отличия количественного характера проявляются в различной длине мантиссы и порядка, а качественные – в системе счисления, в которой выполняется нормализация и определение порядка. Чаще всего применяется шестнадцатеричная или двоичная нормализация.

Шестнадцатеричная нормализация. Число нормализуется по рассмотренному выше общему правилу (1), чтобы 16^-1£|M|<1. В этом случае старшая шестнадцатеричная цифра мантиссы отлична от нуля. Шестнадцатеричная нормализация обычно используется в универсальных ЭВМ.

Рассмотрим типичный вариант формата.

Длина формата – 32 разряда.

Длина мантиссы m=24.

Длина характеристики n=7.

Знак – 1 разряд.

Правила формирования характеристики: Z_[16] = 40_[16] + P_[16].

Пример: A_[10] = 5.5 Þ A_[16] =5.8·16⁰

Нормализуем А_[16] =0.58·16¹.

Получаем Z_[16] =40+1 = 41

M_[16] = 0.58

Знак = 0 (+)

0

1000001

Пример: A_[10] = -32.5 Þ A_[16] = -20.8·16⁰

Нормализуем А_[16] = - 0.208·16²

Получаем Z_[16] =40 +2 = 42

M_[16] =0.208

Знак = 1 (-)

1

1000010

Двоичная нормализация. Нормализация выполняется по правилу, несколько отличающемуся от общего: за счет сдвига мантиссы и изменения порядка двоичного числа добиваются выполнения условия 1£|M|<2. В этом случае целая часть мантиссы будет содержать одну двоичную цифру, причем она будет равна единице. Обязательную единицу можно отбросить и в коде не хранить. Это позволяет использовать дополнительный разряд для хранения дробной части и тем самым увеличить точность представления числа. Двоичная нормализация обычно используется в мини и микро- ЭВМ. Рассмотрим типичный вариант формата.

Длина формата – 32 разряда.

Число разрядов мантиссы m=23.

Число разрядов характеристики n=8.

Знак – 1 разряд.

Правила формирования характеристики: Z_[2] = 2⁷ – 1 + P_[2] или Z_[10] = 127_[10] + P_[10].

Пример: A_[10] = 0.75 Þ A_[2] =0.11·2⁰

Нормализуем А_[2] =1.1·2^-1 и отбрасываем старшую единицу.

Получаем Z_[10] =127-1 = 126

M_[2] = .10000000000000000000000

Знак = 0 (+)

При одинаковых количественных характеристиках (длине мантиссы и длине характеристики) шестнадцатеричная нормализация позволяет получить больший диапазон чисел, но имеет меньшую точность.